반응형 @ 필수과목/손으로 푸는 통계101 [손으로 푸는 통계 ver1.0] 71. 표본분산의 분포 유도 (36) 감마함수 관련 다루지 못한 내용들 우리는 지난시간까지 감마함수를 유도하고 양의 실수 영역에서 수렴함을 보였습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 몇가지 더 다루고 싶었지만 시간 관계상 다루지 못한 내용을 언급만 하고 넘어가려고 합니다. 본 강의의 개정버전에서는 다룰 예정이라 기억용으로 언급하는 것입니다. 1) 감마함수의 무한곱형과 적분형의 동치관계입니다. 함수의 모양은 다르지만 한 함수로 다른 함수를 유도할 수 있는 관계입니다. 2) 감마함수의 복소수 영역에서의 수렴성입니다. 0을 포함한 음의 정수를 제외한 복소수 영역에서 감마함수가 수렴합니다. 두가지 내용은 기억해 두었다가 개정버전에서 다루도록 하겠습니다. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 70. 표본분산의 분포 유도 (35) 감마함수 적분형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 적분형을 유도했고 양의 실수 영역에서의 수렴성을 보였습니다. 전체 과정을 간단히 요약해봅시다. 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이런저런 부분적분을 거쳐 아래 등식을 유도합니다. 적분과 팩토리얼이 연결된 식입니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 치환을 여러번 하며 아래 등식을 유도합니다. $(x-1)!=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 이 함수가 바로 감마함수입니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 69. 표본분산의 분포 유도 (34) 감마함수 수렴성 증명과정 요약 감마함수 적분형의 수렴성을 증명했구요. 아래 다섯단계로 증명을 했습니다. 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 0 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명 감마함수 수렴성 증명을 마무리하면서 증명 과정을 간단히 요약해봅시다. 5단계부터 거꾸로 내려가며 요약.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 .. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 67. 표본분산의 분포 유도 (32) 감마함수 수렴성 증명 #3 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 1-3단계를 증명했고, 오늘은 4단계를 증명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 .. 2021. 9. 18. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴.. 2021. 9. 18. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 65. 표본분산의 분포 유도 (30) 감마함수 수렴성 증명 #1 우리가 유도한 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ z는 0과 음의정수를 제외한 복소수 영역에서 수렴하는데요. 본 강의에서는 0보다 큰 실수 영역에서만 감마함수를 사용할 것이기 때문에 해당 영역에서만 수렴성을 보이겠습니다. 증명하는 절차가 복잡하기 때문에 먼저 전체요약을 먼저 하고 각 단계를 상세히 설명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 \leq e^{-t}t^{n-1} \leq e^{-\frac{1}.. 2021. 8. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 64. 표본분산의 분포 유도 (29) 감마 1/2 계산하기 감마함수 적분형을 이용하여 $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)$ 을 계산해봅시다. 지난 60강에서 $\frac{1}{2}!$이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 인 것을 증명했었는데요. 이 결과와도 비교해봅시다. 감마함수 적분형은 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ $\Gamma (\frac{1}{2})$ 계산하기 위해 z에 1/2 을 대입합시다. $\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right)=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$ t를 $x^{2}$으로 치환합시다. $\begin{align} t&=x^{2}\\ dt&=2xdx \end{align}$.. 2021. 8. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 63. 표본분산의 분포 유도 (28) 감마함수 적분형의 재귀적 성질 우리는 감마함수 무한곱형과 감마함수 적분형을 둘 다 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$ $\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 두 함수는 완전히 동일하다고 합니다. 감마함수 적분형을 이용하여 무한곱형을 유도할 수 있고, 반대도 가능합니다. 이를 동치관계라고 하는데, 동치관계인 것을 보이지는 않겠습니다. 어렵고 길 것 같아 패스합니다. 감마함수 무한곱형에서 제귀적 성질이 성립한다는 것도 보였습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$.. 2021. 8. 1. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 62. 표본분산의 분포 유도 (27) 감마함수 적분형 유도 지난시간에 배운 내용을 잠깐 리뷰해봅시다. 오일러는 $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 라는 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분식을 지난시간에 아래와 같이 변형했습니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 팩토리얼과 적분을 연결한 식이 유도되었습니다. 오일러는 위 수식을 변형해서 감마함수 적분형을 유도합니다. 유도해보겠습니다. 먼저 $e$ 를 $\frac{f}{g}$ 로 치환합시다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= .. 2021. 7. 10. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 61. 표본분산의 분포 유도 (26) 팩토리얼과 적분의 연결 우리는 지난시간에 이분의일 팩토리얼이 루트 파이임을 증명했습니다. $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 오일러는 이 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분은 당시에 이미 알려져 있는 수식이었습니다. 왈리스, 뉴튼, 스털링이 이미 이 적분의 특수형을 다뤘었다고 합니다. 위 적분을 변형해서 팩토리얼이 포함된 식으로 바꿔보겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left [ \frac{1}{e+1}x^{e+1}(1-x)^{n} \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+.. 2021. 6. 19. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 60. 표본분산의 분포 유도 (25) 이분의일 팩토리얼이 이분의 루트 파이임을 증명 지난 시간에 우리는 왈리스공식을 유도했습니다. 아래와 같습니다. $\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )= \left ( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right ) \left ( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right ) \left ( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right ) \left ( \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right ) \cdots $ 이번 시간에는 왈리스공식과 오일러 무한곱을 이용하여 $\frac.. 2021. 6. 19. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 59. 표본분산의 분포 유도 (24) 왈리스 공식 유도3 (Wallis product) 지난 시간까지 유도한 재료들은 아래와 같습니다. $I(n)= \frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$ $\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}= \frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$ $I(0)= \int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx =\int_{0}^{\pi}1dx =x \vert_0^\pi =\pi$ $I(1)= \int_{0}^{\pi}\sin x \ dx =-\cos x \vert_0^\pi =2$ $I(2n)= \pi \prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k} \quad ......(3)$ $I(2n+1)=2\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1} \quad ......(4)$ 계속해서 왈리스공식을 유도해봅.. 2021. 6. 19. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 58. 표본분산의 분포 유도 (23) 왈리스 공식 유도2 (Wallis product) 지난시간에 유도한 1번식, 2번식, 기본적인 함수값은 아래와 같습니다. $I(n)= \frac{n-1}{n}I(n-2) \quad ......(1)$ $\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}= \frac{2n+1}{2n} \quad ......(2)$ $I(0)= \int_{0}^{\pi}\sin^{0}x \ dx =\int_{0}^{\pi}1dx =x \vert_0^\pi =\pi$ $I(1)= \int_{0}^{\pi}\sin x \ dx =-\cos x \vert_0^\pi =2$ $I(2n)$ 을 계산합시다. 위에서 유도한 1번 식에 2n을 대입합니다. $I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)$ $2n-2$는 다시 아래와 같이 변형됩니다. 1번식을 이용하면 됩니다. $I(2n)= .. 2021. 6. 12. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 57. 표본분산의 분포 유도 (22) 왈리스 공식 유도1 (Wallis product) $\frac{1}{2}!$ 이 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 와 같음을 유도할 때 사용될 왈리스 공식은 아래와 같습니다. $\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1} \right )= \left ( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right ) \left ( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right ) \left ( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right ) \left ( \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right ) \cdots.. 2021. 5. 11. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 56. 표본분산의 분포 유도 (21) 감마함수 '적분형'의 발견 우리는 지금까지 감마함수의 무한곱형을 유도하고, 정의역과 성질을 알아봤습니다. 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 오일러는 여기서 멈추지 않고 감마함수의 다른 형태를 발견하게 됩니다. 감마함수의 '적분형'입니다. 오늘날 감마함수라고 하면 감마함수 적분형을 의미합니다. 감마함수의 적분형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx$$ 오일러는 어떻게 감마함수 적분형을 발견하게 되었을까요? 문헌에 따르면 오일러는 $.. 2021. 5. 11. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 55. 표본분산의 분포 유도 (20) 감마함수 무한곱형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 무한곱형을 유도했습니다. 유도 결과는 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 49~52강에 걸쳐 유도했는데요. 오늘은 그 과정을 간단히 요약해봅시다. 유도과정 요약 오일러는 아래 극한값을 발견합니다. $$ n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] \left [ .. 2021. 5. 10. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 54. 표본분산의 분포 유도 (19) 감마함수 무한곱형의 재귀적 성질 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{z}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{z}$$ 오늘은 감마함수의 성질중에서 재귀적 성질(Recurrence relation)을 유도해보도록 하겠습니다. 재귀적 성질은 아래와 같습니다. $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ 팩토리얼 함수 $f(n)=(n-1)!$에서 성립하던 성질인데요. 정의역을 실수로 확장한 뒤에도 이 성질이 성립합니다. 증명 아래 등식에서 출발합시다. $\Gamma (z+1)=\frac{1}{z+1}\prod_{m=1}^{\inft.. 2021. 4. 23. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 53. 표본분산의 분포 유도 (18) 감마함수 무한곱형의 정의역 우리가 지난시간까지 유도한 감마함수의 무한곱형은 아래와 같습니다. $$\Gamma (x)=\frac{1}{x}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{x}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{x}$$ 오늘은 감마함수의 정의역을 알아봅시다. x에 0을 넣어봅시다. $\Gamma (0)=\frac{1}{0}\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{0}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{0}$ 1/0이므로 정의되지 않습니다. x에 -1을 넣어봅시다. $\Gamma (-1)=\frac{1}{-1}\prod_{m=1}^{\i.. 2021. 4. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 52. 표본분산의 분포 유도 (17) 팩토리얼 함수의 정의역 확장 우리는 49,50강에서 n!를 아래와 같은 형태로 변형했습니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이 함수를 감마함수로 바꾸기 전에 한가지 변형을 더 해야합니다. 감마함수는 팩토리얼함수인 (n-1)!을 확장한 것이어서, 위 함수도 (n-1)!로 변형해야 합니다. 아래와 같이 변형합니다. $$ n(n-1)!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 양변을 n으로 나눠줍니다. $$(n-1)!=\fr.. 2021. 4. 21. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 51. 표본분산의 분포 유도 (16) 정의역의 확장 아래 보이시는 감마함수 무한곱형에서 자연수 n을 실수 x로 확장하기 직전입니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이를 정의역 확장이라고 하는데요. 매끄러운 이해를 위해, 우리가 이미 경험한 정의역 확장을 하나 예로 들려고 합니다. 아래 등식이 성립한다는 것은 고등학교 수학에서 배우는 내용입니다. $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 자연수의 합, 혹은 등차수열의 합 정도로 이해하고 넘어가는데요. 이 수식에는 엄청난 수학적 발견의 실마리가 숨겨져 있습니다. 좌변에서는 결코 할 수 없는 일을 우변에서는 할 수 있는데요.. 2021. 3. 2. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 50. 표본분산의 분포 유도 (15) 오일러 극한값의 변형 오일러가 발견한 극한값을 오늘날의 감마함수가 되기 직전의 형태로 변형해봅시다. 오일러가 발견한 극한값은 아래와 같습니다. 지난시간에는 이 수식을 증명했고, 오늘은 이 수식을 변형할 것입니다. $$ n!=\left [ \left ( \frac{2}{1} \right )^{n} \cdot \frac{1}{n+1} \right ] \left [ \left ( \frac{3}{2} \right )^{n} \cdot \frac{2}{n+2} \right ] \left [ \left ( \frac{4}{3} \right )^{n} \cdot \frac{3}{n+3} \right ]\cdots $$ 극한을 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. $$ n!=\lim_{m\rightarrow \infty } \left [ .. 2020. 12. 21. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 49. 표본분산의 분포 유도 (14) 오일러가 발견한 극한값 우리는 팩토리얼함수인 f(n)=(n-1)! 을 실수영역으로 확장하려는 시도를 하고 있습니다. 이를 위해 아래 조건을 만족하는 함수를 찾아야 합니다. 1) n이 자연수 일 때, f(n)=(n-1)! 2) f(n)=(n-1)! 로 찍은 점을 부드럽게 연결 이제 이 함수를 찾아봅시다. 함수를 찾는 과정은 그닥 매끄럽지 않습니다. 매끄럽지 않은 이유는, 과정에서 '하늘에서 떨어진'듯한 수식들이 등장하는데, 그 수식들의 발견과정을 알 수 없기 때문입니다. 발견과정을 알 수 없는 이유는 기록이 없기 때문입니다. 만약 사후세계가 있고 오일러를 만날 수 있다면 그제야 알 수 있을겁니다. 유도 과정이 간단하면 논리적인 인과관계를 갖도록 재구성을 해볼텐데, 아쉽게도 아직 그럴 능력이 없습니다. 최대한 간극을 매워보도록 합.. 2020. 12. 15. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 48. 표본분산의 분포 유도 (13) 감마함수의 등장 (보완) 지난시간에 설명한 감마함수의 등장과정이 매끄럽지 않은 것 같아서 한번 더 설명하려고 합니다. 매끄럽지 않은 부분부터 말씀드리겠습니다. f(n)=(n-1)! 에서 도출할 수 있는 식은 아래와 같습니다. f(n)=(n-1)f(n-1) 이 식을 실수 x로 확장한다는 부분입니다. f(x)=(x-1)f(x-1) 위 성질이 결국 만족하게 되기는 하지만, n을 갑자기 x로 바꾸는 부분이 매끄럽지 않습니다. 팩토리얼 함수 이후부터 다시 설명하겠습니다. 팩토리얼 함수는 아래와 같이 정의했었습니다. f(n)=(n-1)! 0과 양의정수에서 정의된 함수입니다. 이 함수를 실수의 영역으로 확장해야하는데요. 실수 영역으로 확장한다는 것의 의미를 이해해봅시다. 팩토리얼 함수를 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. 팩토리얼함수를 실수.. 2020. 12. 14. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 47. 표본분산의 분포 유도 (12) 감마함수의 등장 지난시간까지 n자유도 카이제곱분포의 짝수형과 홀수형을 더블팩토리얼형태로 유도하고, 팩토리얼 형태로 변형했습니다. 결과는 아래와 같습니다. 짝수형은 팩토리얼 형태로 변형할 수 있었지만, 홀수형은 불가능했습니다. 홀수형의 대괄호안 인수들이 자연수가 아니라 유리수이기 때문입니다. 팩토리얼은 자연수에서만 정의됩니다. 우리는 팩토리얼 개념을 자연수에서 유리수로 확장해야하는 상황입니다. 우리가 알고 있는 팩토리얼의 정의는 아래와 같습니다. 함수 형태로 만들어봅시다. 팩토리얼 함수를 아래와 같이 정의하겠습니다. 왜 f(n)=n! 으로 정의하지 않았냐는 의문이 드는 분도 계실겁니다. n이 자연수이기 때문에 f(n)=n! 으로 정의할 경우 함수값이 1! 부터 시작됩니다. 하지만 팩토리얼은 0! 부터 정의되어 있기 떄문에.. 2020. 8. 26. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 46. 표본분산의 분포 유도 (11) 더블 팩토리얼 변형 지난시간까지 n자유도 카이제곱분포를 유도했습니다. n이 짝수인 경우와, 홀수인 경우를 따로 유도했습니다. n이 짝수인 경우 카이제곱분포 n이 홀수인 경우 카이제곱분포 오늘은 더블팩토리얼을 변형할건데요. 짝수형부터 변형해보겠습니다. 편하게 유도하기 위해 계수의 분모만 가져다가 유도하겠습니다. 1) 짝수형 변형 (자유도 n이 짝수) 짝수형 수식에서 계수의 분모는 아래와 같습니다. 더블팩토리얼을 전개합시다. 대괄호 안에 있는 인수 개수가 몇개일까요?? 2부터, 짝수 n까지 곱하면 2/n개 입니다. n에서 하나 앞인 n-2까지 곱한 것이므로, $\frac{n}{2}-1$ 개입니다. 몇개의 숫자를 넣어보면 쉽게 알 수 있습니다. n에 4를 넣어봅시다. 2 이므로, 1개입니다. n에 6을 넣어봅시다. 4x2 이므로.. 2020. 8. 16. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 45. 표본분산의 분포 유도 (10) 카이제곱분포 점화식 풀이 지난시간까지 유도해본 n자유도 카이제곱분포의 분포함수는 아래와 같습니다. 문제는 상수 $C_{n}$ 이었는데요. 규칙이 보이지 않았습니다. 점화식 형태로도 표현한 결과는 아래와 같습니다. ... 이번에는 우리가 유도한 분포함수를 점화식에 대입해보았습니다. 아래와 같이 소거합시다. 적분과 상관없는 항은 밖으로 꺼내겠습니다. 적분합시다. 정리하면 아래와 같습니다. 자유도가 n인 카이제곱분포의 상수 $C_{n}$ 은 아래와 같이 표현됩니다. 우리가 풀 수 있는 형태의 점화식이 되었습니다. 점화식을 풀어보겠습니다. n 이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나뉩니다. 1) n이 홀수인 경우 ... double factorial 이라는 기호가 있습니다. !! 인데요. factorial은 1씩 빼서 곱하는 반면, doub.. 2020. 6. 30. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 44. 표본분산의 분포 유도 (9) 1~5자유도 카이제곱분포에서 규칙찾기, 점화식 세우기 이제 1,2,3,4,5 자유도 카이제곱 분포를 살펴보면서 규칙을 찾아봅시다. 지수함수와 멱함수에서는 규칙이 보입니다. 지수함수는 같은 형태가 유지되고 있고, 멱함수의 지수부분은 1/2 씩 더해지고 있습니다. 이 규칙이 계속 유지될 것이라는 것도 쉽게 보일 수 있습니다. 예를들어 5자유도 분포를 구할 때, 우리는 2자유도와 3자유도를 결합합니다. 지수항수는 항상 같은 형태로 남겨지고, 멱함수는 2자유도 전의 멱함수가 적분됩니다. 따라서 2자유도 증가할 때마다 차수가 1 증가하는 것이므로, 1자유도 증가시 차수가 1/2 증가하게 됩니다. 따라서 n자유도 카이제곱 분포는 아래와 같은 모양일 것으로 생각됩니다. 확률변수를 X로 놓겠습니다. 문제는 상수 $C_{n}$ 입니다. 규칙이 보이지 않았습니다. 점화식 형.. 2020. 6. 30. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 43. 표본분산의 분포 유도 (8) 3,4,5자유도 카이제곱분포 유도 지난시간까지 유도한 1,2 자유도의 카이제곱분포는 아래와 같습니다. 변수는 X에 아래첨자에 자유도가 추가된 형태로 놓겠습니다. 오늘은 3,4,5 자유도의 카이제곱분포를 유도하고 규칙을 찾아보도록 하겠습니다. 먼저 3자유도 카이제곱분포입니다. 3자유도 카이제곱분포 유도 1,2 자유도 카이제곱분포에 컨볼루션 적분을 적용하면 아래와 같은 수식이 됩니다. 분포함수를 대입하면 아래와 같습니다. 아래와 같이 지수형태의 식을 둘로 분리합시다. $ e^{-\frac{x_{1}}{2}}$ 를 소거합시다. 적분변수와 무관한 항은 밖으로 꺼냅시다. 적분합시다. 계산하면 아래와 같습니다. 4자유도 카이제곱분포 유도 이번에는 4자유도 카이제곱분포를 유도해봅시다. 2자유도 카이제곱분포 함수가 가장 간단하기 때문에 이 함수를 이용.. 2020. 6. 13. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 42. 표본분산의 분포 유도 (7) 2자유도 카이제곱분포 유도 서로 독립인 두 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 두 확률변수는 0부터 무한대 사이의 정수를 갖는다고 합시다. X가 발생할 확률은 P(X=x), Y가 발생할 확률은 P(Y=y)입니다. X와 Y를 합한 확률변수를 Z라고 놓겠습니다. 표기를 P(X), P(Y)로 하지 않는 이유는 혼동을 피하기 위함입니다. x가 1일 확률과 y가 1일 확률이 다를 수도 있는데 P(1), P(1) 로 똑같이 표기되기 때문입니다. P(X=1), P(Y=1)이라고 표기하면 오해가 생기지 않습니다. Z=X+Y 이때 Z가 발생할 확률은 어떻게 정의할 수 있을까요? Z가 발생하는 모든 X,Y 조합을 찾아봅시다. X 값에는 0부터 올 수 있으므로 아래와 같습니다. (0,z) (1,z-1) (2,z-2) ... (z,0) 각각의 확률은 .. 2020. 5. 16. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
