반응형 통계213 [손으로 푸는 통계 ver1.0] 70. 표본분산의 분포 유도 (35) 감마함수 적분형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 적분형을 유도했고 양의 실수 영역에서의 수렴성을 보였습니다. 전체 과정을 간단히 요약해봅시다. 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이런저런 부분적분을 거쳐 아래 등식을 유도합니다. 적분과 팩토리얼이 연결된 식입니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 치환을 여러번 하며 아래 등식을 유도합니다. $(x-1)!=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 이 함수가 바로 감마함수입니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}.. 2021. 9. 22. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 67. 표본분산의 분포 유도 (32) 감마함수 수렴성 증명 #3 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 1-3단계를 증명했고, 오늘은 4단계를 증명하겠습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 .. 2021. 9. 18. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 증명과정 요약 1) $a>0$일 때, $\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2) $\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용, $0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용, $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 $x \geq 1 $ 에서 $\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴.. 2021. 9. 18. [통계 적률의 이해] 6. 적률생성함수란? 적률생성함수는 영어로 moment generating function 입니다. 줄여서 MGF라고 부르는데요. 말 그대로 적률을 생성해주는 함수입니다. 어떤 적률을 생성해주는걸까요? 우리는 지난시간까지 세가지 종류의 적률을 배웠습니다. - 적률 - 중심적률 - 표준화적률 적률생성함수는 이들 중 '적률'을 생성합니다. 물론 적률은 적분을 통해서 구할 수 있습니다만, 적률생성함수를 한번 구해놓으면 n차 적률을 아주 쉽게 구할 수가 있습니다. 아주 기발한 방법입니다. 적률생성함수는 아래와 같이 정의됩니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]$ 연속확률변수라면 아래와 같이 구할 수 있습니다. $M_{X}(t)=E\left [ e^{tX} \right ]=\int_{-\infty}^{\i.. 2021. 9. 16. [통계 적률의 이해] 5. 적률들 한눈에보기 우리는 지금까지 세가지 적률을 공부했습니다. 적률, 중심적률, 표준화적률입니다. 세 적률이 통계량인 평균,분산,왜도,첨도와 어떤 관계가 있는지도 공부했습니다. 지금까지 배운 내용들을 표로 정리해봅시다. 이름 기호 정의 기댓값 형태 통계량과의 관계 적률 $\mu_{n}'$ $\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ $E\left [ X^{n} \right ]$ 평균 = $\mu_{1}'$ 중심적률 $\mu_{n}$ $\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{n}f(x)dx$ $E\left [ \left ( X-\mu \right )^{n} \right ]$ 분산 = $\mu_{2}$ 표준화적률 $\tilde{\mu}_{n}$ $\frac{\mu_{n}}{\sigma^.. 2021. 9. 9. [통계 적률의 이해] 3. 중심적률과 평균,분산,왜도 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 지난시간에는 적률을 이용해서 평균,분산,왜도를 표현해보았습니다. 아래와 같습니다. $E(X)=\mu'_{1}$ $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}=\mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2}$ $\gamma _{1}=\frac{ \mu'_{3}-3 \mu'_{1} \mu'_{2}+2 \left \{ \mu'_{1} \right \}^{3} }{\left [ \mu'_{2}-\left \{ \mu'_{1} \right \}^{2} \right ]^{\frac{3}{2}}}$ $\mu'_{1}$ 은 1차적률, $\mu'_{2}$ 는 2차적률입니다. 분산 까지는 괜찮은데 왜도는 상당히 .. 2021. 8. 18. [통계 적률의 이해] 2. 통계에서의 적률과 평균,분산,왜도 목차 1. 적률이 뭔가요 2. 통계에서의 적률 3. 중심적률 4. 표준화적률 5. 적률생성함수 지난 시간에 배운 n차 적률의 수학적 정의는 아래와 같습니다. $\mu_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^{n}f(x)dx$ 통계에서 '적률'이라고 하면 c=0 인 적률을 말합니다. 위첨자를 붙여서 사용합니다. $\mu'_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}f(x)dx$ 통계에서는 적률 외에도 '중심 적률'과 '표준화 적률'도 정의해서 사용합니다. 다음 시간에 배우기로 하고 오늘은 적률을 공부해봅시다. 1차 적률 1차 적률을 구해보면 아래와 같습니다. $\mu'_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 평균의 정의와 같습니다. 따라서 1차 적.. 2021. 8. 16. [누율의 이해] 4. 3차 누율 1. 누율이란 무엇인가? 2. 누율생성함수 계산하기 3. 1차,2차 누율 4. 3차 누율 5. 고차 누율 6. 왜 굳이 정의했나? 7. 결합누율 1,2차 누율을 구할 때 사용한 누율생성함수는 적률생성함수의 테일러전개에서 3차 이상의 항을 고차항 처리하여 만들었습니다. 1,2차 항만을 사용할 것이기 때문에 3차 이상을 고차항 처리한 것인데요. 3차 누율을 구할 때는 4차 이상을 고차항 처리해야 합니다. 계산이 상당히 귀찮아집니다. 적률생성함수의 테일러 전개는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X.. 2021. 8. 16. [누율의 이해] 3. 1차,2차 누율 1. 누율이란 무엇인가? 2. 누율생성함수 계산하기 3. 1차,2차 누율 4. 3차 누율 5. 고차 누율 6. 왜 굳이 정의했나? 7. 결합누율 지난시간에 계산한 누율생성함수는 아래와 같습니다. 3차 이상의 항을 고차항처리하였습니다. $K_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+\frac{t^{2}}{2}V\left [ X \right ]+O(t^{3})$ 1차 누율 1차 누율은 누율생성함수를 한번 미분하고 t에 0을 넣어서 구합니다. 먼저 누율생성함수를 한번 미분하면 아래와 같습니다. $\frac{dK_{X}(t)}{dt}=E\left [ X \right ]+V\left [ X \right ]t+O(t^{2})$ t에 0을 넣어봅시다. $\frac{dK_{X}(0)}{dt}=E\left [ .. 2021. 8. 13. [누율의 이해] 2. 누율생성함수 계산하기 1. 누율이란 무엇인가? 2. 누율생성함수 계산하기 3. 1차,2차 누율 4. 3차 누율 5. 고차 누율 6. 왜 굳이 정의했나? 7. 결합누율 지난시간에 누율이 무엇인지 배웠습니다. 누율생성함수와 누율은 아래와 같이 정의됩니다. $K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=\ln E\left ( e^{Xt} \right )$ $\kappa _{n}=K^{n}(0)$ 오늘은 누율생성함수를 계산해봅시다. 먼저 적률생성함수를 간단히 나타내겠습니다. 적률생성함수는 아래와 같습니다. $M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^.. 2021. 8. 13. [누율의 이해] 1. 누율(Culumant)이란 무엇인가? 통계학에서 등장하는 개념인 누율에 대해 공부해볼 것입니다. 아래 목차를 예상합니다. 1. 누율이란 무엇인가? 2. 누율생성함수 계산하기 3. 1차,2차 누율 4. 3차 누율 5. 고차 누율 6. 왜 굳이 정의했나? 7. 결합누율 누율이 무엇인지 알아봅시다. 누율은 적률 대신 사용할 수 있는 값입니다. 적률이 있는데 누율을 굳이 정의한 이유는 누율을 이용하여 계산하는게 더 편한 상황이 있기 때문인 것 같습니다. 누율은 독특한 방법으로 정의됩니다. 직접적으로 정의되는게 아니라 적률을 거쳐야만 정의될 수 있습니다. 아래 과정을 통해 정의됩니다. 적률생성함수 -> 누율생성함수 -> 누율 적률생섬함수를 이용하여 누율생성함수가 정의되고, 누율생성함수에서 누율이 정의됩니다. 누율보다 누율생성함수가 먼저 정의된다는 특.. 2021. 8. 11. [왜도의 이해] 3. 왜도의 부호 1. 왜도란 무엇인가? 2. 피어슨의 정의 3. 왜도의 부호 4. 왜도와 적률 5. 왜도와 누율 6. 평균, 중앙값, 최빈값의 위치 7. 왜도 0이면 항상 대칭일까? 8. 표본의 왜도 9. 또 다른 정의들 지난시간에 피어슨이 정의한 왜도를 배웠습니다. $\gamma _{1}=E \left [ \left ( \frac{X- \mu}{\sigma} \right )^{3} \right ]$ 이번 시간에는 왜도의 부호에 대해 알아봅시다. 아래와 같이 두개의 그래프가 있습니다. 두 그래프의 왜도 부호가 다를 것은 쉽게 예상할 수 있습니다. 어느 그래프의 왜도가 양수일까요? 왜도의 정의를 봅시다. $\gamma _{1}=E \left [ \left ( \frac{X- \mu}{\sigma} \right )^{3} .. 2021. 8. 10. 통계에서 interobeserver, intraobserver 차이 어떤 측정값을 가지고 통계분석을 하려고 할 때, 먼저 확인해보아야 하는 것이있습니다. '측정 자체를 신뢰할수 있는가' 입니다. 예를들어 어떤 길이를 측정한다고 할 때, 보통 두세사람이 같은 대상을 측정하고 각각의 측정자도 여러번 반복해서 측정합니다. A,B 두사람이 측정했고 각각 두번씩 측정했다고 할 때 아래와 같은 측정 결과가 생깁니다. A1 A2 B1 B2 이들이 일치해야 좋은 측정입니다. 이때 두가지 비교가 가능합니다. A의 측정 결과와 B의 측정결과를 비교 A(또는 B)의 1차 측정 결과와 2차 측정 결과를 비교 전자를 측정자간(interobserver) 비교 라고 하고, 후자를 측정자내(intraobserver) 비교라고 합니다. interobserver : 측정자 간 비교 intraobserv.. 2021. 8. 10. 기하 표준편차란 무엇인가 기하 표준편차는 데이터가 기하평균에서 얼마나 흩어져 있는가를 나타내는 값입니다. 기하평균을 사용하는 것이 적합한 데이터에서 기하 표준편차를 사용합니다. 아래와 같이 크기가 n인 데이터가 있다고 합시다. $\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$ 기하평균은 아래와 같습니다. $\mu_{g}=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$ 양변에 자연로그를 취해줍니다. $\ln \mu_{g}=\ln \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. $\ln \mu_{g}=\frac{1}{n} \ln x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 분리해서 써줍니다. $\ln.. 2021. 8. 5. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 62. 표본분산의 분포 유도 (27) 감마함수 적분형 유도 지난시간에 배운 내용을 잠깐 리뷰해봅시다. 오일러는 $\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 라는 결과에 영감을 받아 팩토리얼이 적분과 관련이 있을 것이라고 생각하게 되고, 아래 적분을 떠올립니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이 적분식을 지난시간에 아래와 같이 변형했습니다. $\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 팩토리얼과 적분을 연결한 식이 유도되었습니다. 오일러는 위 수식을 변형해서 감마함수 적분형을 유도합니다. 유도해보겠습니다. 먼저 $e$ 를 $\frac{f}{g}$ 로 치환합시다. $\int_{0}^{1}x^{\frac{f}{g}}(1-x)^{n}dx= .. 2021. 7. 10. 표본을 하나밖에 안 뽑았는데 어떻게 분포를 가정하나요?? "표본을 하나밖에 안 뽑았는데 어떻게 분포를 가정하나요??" 라는 질문을 정말 많이 받습니다. 오늘은 이 질문에 대해 최대한 쉽게 이해되도록 설명드려보겠습니다. 먼저 이 질문이 나온 맥락을 알아봅시다. 여기 모집단이 하나 있습니다. 모집단의 평균은 $\mu$, 표준편차는 $\sigma$ 라고 놓겠습니다. 모집단에서 크기가 n인 표본을 추출했습니다. 이 표본의 평균을 $\bar{X}_{1}$, 표준편차를 $\sigma_{1}$이라고 놓겠습니다. n이 충분히 크다고 가정하면, 중심극한정리에 의해 방금 우리가 뽑은 이 표본의 평균은 아래 분포를 따릅니다. $\bar{X} \sim N \left (\mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)$ 이 상황에서 나온 질문입니다. 아래와 같은 의문이 드는 분.. 2021. 5. 21. 평균이 무의미한 경우 (평균값이 크다고 꼭 좋은걸까?) 평균은 대표값 중 하나입니다. 어떤 집단을 '대표'하는 값입니다. 대표적인 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값이 있습니다. 평균이 가장 빈번하게 사용되기는 하나 모든 상황에서 자료를 잘 '대표'하지는 않습니다. 아래 두 사례를 봅시다. 회사 A와 B가 있습니다. A회사의 평균 급여는 오천만원이고, B회사의 평균 급여는 1억입니다. B회사가 더 돈을 많이 주는 좋은 회사일까요? 평균만으로는 알 수 없습니다. 극단적인 예를 들면, A회사 직원은 10명인데 전부 오천만원을 받고 있다고 합시다. B회사도 10명인데 9명의 연봉은 이천만원이고 사장님 연봉이 8억 2천만원이라면, 그래도 B회사가 더 좋은 회사일까요? A학교에 두 반이 있습니다. X반과 Y반이라고 합시다. 지금은 모르겠지만 제 학창시절에는 선생님들이 .. 2021. 3. 20. 모평균의 추정에서 흔히 하는 오해 신뢰구간 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 모집단에서 표본을 추출했습니다. 모평균과 모표준편차는 모르는 상태입니다. 표본평균을 $\bar{X}_{1}$ 라고 합시다. 표본의 크기가충분히 크다면 중심극한정리에 의해 표본평균들은 정규분포를 따릅니다. $\bar{X} \sim N\left ( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right )$ 이때 모평균을 신뢰도 95%로 추정하면 신뢰구간은 아래와 같습니다. $\bar{X}_{1} -1.96\cdot \frac{\sigma}{n} \leq \mu \leq \bar{X}_{1} +1.96\cdot \frac{\sigma}{n}$ 흔한 오해 신뢰도 95%로 추정한 신뢰구간을 두고 흔히 하는 오해가 있습니다. 바로바로 아래와 같습니다. "모.. 2021. 3. 17. 상관계수가 0이라고 관계가 없는게 아니다 상관관계가 없다는 것은 '선형 관계'가 없다는 것입니다. 상관분석은 선형관계의 여부만을 고려하기 때문입니다. 예를들어 아래와 같은 관계는 포착할 수가 없는 것입니다. 위 그래프에서 X와 Y의 관계는 비선형관계입니다. 선형관계는 없지만 관계가 없다고 할 수는 없습니다. 2021. 3. 17. 변수 A,B,C 의 상관관계 변수 A와 변수 B가 강한 상관관계가 있고, 변수 B와 변수 C가 강한 상관관계가 있다고 하자. 이때 변수 A와 C 사이에는 반드시 상관관계가 있을까? 대답은 아니오이다. 간단한 반례를 들어보자. 김,이,박 세 사람이 있다고 하자. 세 사람의 주식 보유량은 아래와 같다. 김 : 삼성전자10주, 엘지전자10주 이 : 삼성전자10주, 셀트리온10주 박 : 셀트리온10주, 네이버10주 삼성전자라는 같은 보유주식이 있으므로, 김의 수익률과 이의 수익률은 강한 상관관계가 있다. 셀트리온이라는 같은 보유주식이 있으므로 이와 박의 수익률도 강한 상관관계가 있다. 그러나 김과 박의 보유주식은 전혀 겹치지 않는다. 따라서 김과 박의 수익률에 반드시 상관관계가 있다고 말할 수 없다. 2021. 3. 17. [회귀분석] 2. 회귀분석의 종류 회귀분석은 여러 기준에 따라 여러 종류로 분류됩니다. (아래 도표 참고) 1) 예측변수의 종류 회귀분석 : 수치형 자료를 다룸 로지스틱 회귀분석 : 범주형 자료를 다룸 2) 예측변수의 개수 단순 회귀분석 : 독립변수 1개 다중 회귀분석 : 독립변수 2개 이상 3) 종속변수의 개수 단변량 회귀분석 : 반응변수 1개 다변량 회귀분석 : 반응변수 2개 이상 4) 모델의 차수 선형회귀분석 : 1차식 모델 사용 비선형회귀분석 : 2차식 이상의 모델 사용 도표로 정리하면 아래와 같습니다. (클릭해서 보세요) 단순 선형 단변량 회귀분석을 줄여서 '단순 선형 회귀분석'이라고 부릅니다. 다중 선형 단변량 회귀분석을 줄여서 다중 선형 회귀분석 이라고 부릅니다. 회귀분석에서는 단순 선형 회귀분석과 다중 선형 회귀분석이 주로.. 2021. 3. 12. [수리통계학] #27. 확률밀도함수 표본공간을 S라고 놓겠습니다. 어떤 실험을 했고, 발생한 사건들의 집합이 표본공간입니다. 이 실험에서 확률변수 X를 정의했고, X가 가질 수 있는 값은 아래와 같다고 합시다. X는 연속확률변수입니다. $X=\left \{ a\leq x\leq b \right \}$ 확률변수와 확률변수가 발생할 확률을 연결하는 함수를 정의할 수 있습니다. 이를 확률함수라고 합니다. 확률변수 → (확률함수) → 확률 연속확률변수의 확률함수는 연속함수입니다. 이때는 함수 값이 확률이 아니라 함수의 면적이 확률이 됩니다. 따라서 확률함수 $f_{X}(x)$는 아래와 같이 정의됩니다. $P[(a,b)]=P[\left \{ c \in S:a 2021. 3. 10. [수리통계학] #26. 확률질량함수 확률질량함수 표본공간 S가 아래와 같다고 합시다. 어떤 실험을 했고, 발생한 사건들의 집합입니다. $S=\left \{ c_{1},c_{2},...,c_{n} \right \}$ 이 실험에서 확률변수 X를 정의했고, X가 가질 수 있는 값은 아래와 같다고 합시다. $X=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{m} \right \}$ 이때 확률변수 $x_{i}$와 이 확률변수가 발생할 확률을 연결하는 함수를 정의할 수 있습니다. 이 함수를 확률함수라고 부릅니다. 확률변수 → (확률함수) → 확률 확률변수가 이산확률변수인 경우에는 이러한 확률함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 연속확률변수인 경우는 확률밀도함수라고 부르는데 다음 글에서 다루겠습니다. 이산확률변수의 확률함수 : 확률질량함수 연속확률변수.. 2021. 3. 8. [수리통계학] #25. 이산확률변수, 연속확률변수 표본공간의 원소인 사건(event)과 실수(real number)를 연결하는 함수가 확률변수였습니다. 사건 → (확률변수) → 실수(real number) 확률변수는 크게 둘로 나뉩니다. 셀 수 있는 이산확률변수가 있고, 셀 수 없는 연속확률변수가 있습니다. 이산확률변수 : 셀 수 있음 연속확률변수 : 셀 수 없음 여기서 셀수 있음과 없음은 '개수'와는 무관합니다. 번호 붙여 셀 수 있는지 여부를 말하는 것입니다. 예를들어 자연수의 집합은 개수가 무한하지만 셀 수 있는 집합입니다. (셀수 있음과 관련된 내용은 링크 영상 참고) 이산확률변수 예시 이산확률변수를 예로 들면 주사위를 던질 때 나오는 눈의 값이 있습니다. 사건 : 주사위 던짐 표본공간 : {1,2,3,4,5,6} 확룰변수 : 눈의 값 확률변수는.. 2021. 3. 5. [수리통계학] #24. 확률변수의 정의 확률변수는 영어로 random variable 입니다. 사실 random variable 이라는 단어에는 '확률'이 이라는 말이 없습니다. 확률변수의 교과서적인 정의를 먼저 이야기하고 나서 예시를 통해 설명을 하겠습니다. 정의 (Definition) 확률변수는 표본공간(S)에서 실수로 정의된 함수이다. $X:S\rightarrow \mathbb{R}$ 표본공간의 원소 c에 대하여 실수값 X(c)를 대응시킨다. 실험을 했고 사건이 발생했습니다. 각 사건을 어떤 '실수 값'에 대응시키는 함수가 확률변수입니다. 예시를 통해 확률변수를 이해해봅시다. 확률변수를 정의할 때는 실험이 먼저 정의되어야 합니다. 실험을 정하고, 확률변수를 정의하면 됩니다. 예제1) 동전을 세번 던질 때, 앞면이 나온 수 실험 : 동전 .. 2021. 3. 2. [손으로 푸는 통계 ver1.0] 51. 표본분산의 분포 유도 (16) 정의역의 확장 아래 보이시는 감마함수 무한곱형에서 자연수 n을 실수 x로 확장하기 직전입니다. $$ n!=\prod_{m=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( 1+\frac{n}{m} \right )}\cdot \left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{n}\ $$ 이를 정의역 확장이라고 하는데요. 매끄러운 이해를 위해, 우리가 이미 경험한 정의역 확장을 하나 예로 들려고 합니다. 아래 등식이 성립한다는 것은 고등학교 수학에서 배우는 내용입니다. $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ 자연수의 합, 혹은 등차수열의 합 정도로 이해하고 넘어가는데요. 이 수식에는 엄청난 수학적 발견의 실마리가 숨겨져 있습니다. 좌변에서는 결코 할 수 없는 일을 우변에서는 할 수 있는데요.. 2021. 3. 2. [수리통계학] #23. 사건 A와 B가 독립이면, A여집합과 B도 독립일까 두 사건 A의 여집합과 B의 교집합에서 부터 유도를 시작합시다. $P(A^{c} \cap B)$ 위 집합은 B에서 A와 B의 교집합을 뺀 집합과 같습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)$ A와 B는 독립이므로, 교집합을 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A)P(B)$ P(B)로 묶어줍시다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)(1-P(A))$ 1-P(A) 는 $P(A^{c})$와 같습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)P(A^{c})$ 위 등식이 성립하므로 사건 $B$와 $A^{c}$ 가 독립입니다. 따라서 아래 명제가 성립합니다. 두 사건 A와 B가 서로 독립일 때, $A^{c}$과 B도 서로 독립이다. 2021. 3. 2. [수리통계학] #22. 두 사건의 독립 두 사건이 독립일 때 유도되는 성질 두 사건(혹은 집합)이 독립이라는 것은 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $P(A|B)=P(A)$ 또는 $P(B|A)=P(B)$ 조건부 확률 공식을 적용하면 아래와 같습니다. 위 두 등식중 어느것으로 해도 결과는 같기 때문에 첫 등식으로 유도하겠습니다. $P(A|B)=P(A)=\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }=P(A)$ 양변에 P(B)를 곱합니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ 두 사건이 독립이면 위 등식이 성립하고, 반대로 위 등식이 성립한다면 두 사건은 독립입니다. 왜?? 위 등식.. 2021. 3. 2. 물가상승률은 어떻게 계산되는걸까? (물가상승률과 물가지수) 물가상승률 물가라는 것은 물건의 가격입니다. 우리가 구매하는 물건의 가격이 얼마나 올랐는지를 알려주는 지표입니다. 작년에 라면 가격이 100원이었고 올해 200원이라면 라면의 물가상승률은 100%인 것입니다. 국가에서 물가상승률을 계산할 때는 라면처럼 한가지 품목만 가지고 계산하지는 않습니다. 그렇다고 모든 품목을 전부 고려할 수도 없습니다. 소비자가 체감하는 물가를 잘 나타낼 수 있는 대표품목들을 골라주어야 합니다. 통계청에서는 460개의 품목을 선택하였습니다. 여기를 클릭하시면 나오는 페이지 하단에서 다운받으실 수 있습니다. 쌀, 땅콩, 라면등이 있습니다. 각 품목의 가중치를 부여하였고, 전체 가중치의 합이 1000이 되도록 하였습니다. 소비가 많은 품목에 더 큰 가중치를 부여합니다. 가중치는 2~3.. 2021. 3. 1. [수리통계학] #16. 전확률공식 전확률공식(law of total probability, 또는 전체확률법칙) 서로 배반인 k개의 사건들 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$가 있다고 합시다. 이 사건들이 표본공간 S를 분할하고 있다고 합시다. 어떤 사건 B가 있다고 할 때, 아래 등식이 성립합니다. 위 조건과 상관없이 이건 그냥 당연히 성립합니다. $P(B)=P(B \cap S)$ 집합 A들이 표본공간을 분할하고 있으므로, 아래와 같이 변형가능합니다. $P(B)=P(B \cap (A_{1} \cup ... \cup A_{k}))$ 분배법칙을 사용합시다. $P(B)=P((B \cap A_{1}) \cup (B \cap A_{2}) \cup ... \cup (B \cap A_{k}))$ 괄호안의 각 집합들은 배반이므로 아래 등식이 성.. 2021. 2. 27. 이전 1 2 3 4 5 6 7 8 다음 반응형
