[누율의 이해] 2. 누율생성함수 계산하기

1. 누율이란 무엇인가?
2. 누율생성함수 계산하기
3. 1차,2차 누율

4. 3차 누율

5. 고차 누율
6. 왜 굳이 정의했나? 
7. 결합누율

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지난시간에 누율이 무엇인지 배웠습니다. 누율생성함수와 누율은 아래와 같이 정의됩니다. 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=\ln E\left ( e^{Xt} \right )$

$\kappa _{n}=K^{n}(0)$

오늘은 누율생성함수를 계산해봅시다. 

먼저 적률생성함수를 간단히 나타내겠습니다. 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+\cdots$

3차 이상의 항을 $O(t^{3})$ 로 나타내줍니다. 미분해서 t에 0을 넣으면 사라질 고차항을 간단히 나타낸 것입니다. 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=1+E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3})$

양변에 자연로그를 취하면 누율생성함수가 됩니다. 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=\ln\left ( 1+E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3}) \right )$ 

자연로그의 테일러전개는 아래와 같습니다. 

$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots$

누율생성함수에 적용해줍시다. 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3}) -\frac{1}{2}\left ( E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3})  \right )^{2}+\frac{1}{3}\left ( E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3})  \right )^{3}$

아래와 같이 3차 이상은 고차항처리해줍시다. 전개하여 3차가 될 항들도 고차항처리를 해주었습니다. 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3}) -\frac{1}{2}\left ( E\left [ X \right ]t+O(t^{2})  \right )^{2}$

전개합시다. 

$\ln M_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2}+O(t^{3}) -\frac{t^{2}}{2}E\left [ X \right ]^{2}-tE\left [ X \right ]O(t^{2})+O(t^{2})^{2}$

3차 이상 항을 고차항으로 처리합니다.

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2} -\frac{t^{2}}{2}E\left [ X \right ]^{2}+O(t^{3})$

아래와 같이 묶어줍시다. 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+\frac{t^{2}}{2}\left ( E\left [ X^{2} \right ]-E\left [ X \right ]^{2} \right )+O(t^{3})$

괄호 안의 식은 분산과 같습니다. 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=E\left [ X \right ]t+\frac{t^{2}}{2}V\left [ X \right ]+O(t^{3})$