[누율의 이해] 4. 3차 누율

1. 누율이란 무엇인가?
2. 누율생성함수 계산하기
3. 1차,2차 누율

4. 3차 누율

5. 고차 누율
6. 왜 굳이 정의했나? 
7. 결합누율

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1,2차 누율을 구할 때 사용한 누율생성함수는 적률생성함수의 테일러전개에서 3차 이상의 항을 고차항 처리하여 만들었습니다. 1,2차 항만을 사용할 것이기 때문에 3차 이상을 고차항 처리한 것인데요. 3차 누율을 구할 때는 4차 이상을 고차항 처리해야 합니다. 계산이 상당히 귀찮아집니다. 

 

적률생성함수의 테일러 전개는 아래와 같습니다. 

 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+E\left [ X^{4} \right ]\frac{t^{4}}{4!}+\cdots $

 

4차 이상의 항을 고차항 처리하겠습니다. 

 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4}) $

 

양변에 자연로그를 취해주면 누율생성함수가 됩니다. 

 

$K_{X}(t)=\ln \left ( \frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4})  \right )$

 

자연로그의 테일러전개를 해줍시다. 자연로그의 테일러전개는 아래와 같습니다. 

 

$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots$

 

누율생성함수에 적용해줍니다. 

 

$K_{X}(t)=\left ( E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4})  \right )
\\
-\frac{1}{2}\left ( E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4})  \right )^{2}
\\
+\frac{1}{3}\left ( E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4})  \right )^{3}
\\
+O(t^{4}) $

전개했을 때 4차 이상의 항이 되는 것은 어차피 고차항처리를 할 것이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$K_{X}(t)=\left ( E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4})  \right )
\\
-\frac{1}{2}\left ( E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+O(t^{3})  \right )^{2}
\\
+\frac{1}{3}\left ( E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+O(t^{2})  \right )^{3}
\\
+O(t^{4}) $

 

전개해서 미분할 생각을 하니 끔찍합니다. 다른 방법을 찾아보겠습니다. 아래와 수식에서 다시 시작합시다. 

 

$K_{X}(t)=\ln \left ( \frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4})  \right )$

 

아래와 같이 치환하겠습니다. 

 

$f(t)=E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+O(t^{4}) $

 

몇개의 함수값을 구해봅시다. 

 

$f(0)=0$
$f'(0)=E(X)$
$f''(0)=E(X^{2})$

$f'''(0)=E(X^{3})$

 

치환한 함수를 누율생성함수에 넣어줍시다. 

 

$K_{X}(t)=\ln \left ( \frac{1}{0!}+f(t)  \right )$

 

자연로그의 테일러 전개를 적용합시다. 

 

$K_{X}(t)=f(t)-\frac{f(t)^{2}}{2}+\frac{f(t)^{3}}{3}+O(t^{4})$

3차 누율을 구하기 위해서는 미분을 총 세번해야 합니다.

 

한번 미분은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{dK_{X}(t)}{dt}=f'(t)-f(t)f'(t)+f(t)^{2}f'(t)+O(t^{3})$

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$\frac{dK_{X}(t)}{dt}=f'(t)\left \{ 1-f(t)+f(t)^{2} \right \}+O(t^{3})$

 

두 번 미분은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d^{2}K_{X}(t)}{dt^{2}}=f''(t)\left \{ 1-f(t)+f(t)^{2} \right \}
+f'(t)\left \{-f'(t)+2f(t)f'(t) \right \}+O(t^{2})$

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$\frac{d^{2}K_{X}(t)}{dt^{2}}=f''(t)\left \{ 1-f(t)+f(t)^{2} \right \}
+f'(t)^{2}\left \{-1+2f(t) \right \}+O(t^{2})$

 

세번 미분은 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(t)}{dt^{3}}=f'''(t)\left \{ 1-f(t)+f(t)^{2} \right \}
+f''(t)\left \{ -f'(t)+2f(t)f'(t) \right \}\\
+2f'(t)f''(t)\left \{-1+2f(t) \right \}+O(t^{2})
+f'(t)^{2}\left \{2f'(t) \right \}+O(t)$

 

t에 0을 넣어줍시다. f(0)은 0이므로 제거합시다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=f'''(0)-3f''(0)f(0)+2f'(t)^{3}$

 

나머지 함수값도 넣어줍니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E(X^{3})-3E(X^{2})E(X)+2E(X)^{3}$

 

E(X)는 평균이므로 $\mu$로 바꿔줍니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E(X^{3})-3E(X^{2})\mu+2\mu^{3}$

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E(X^{3})-3E(X^{2})\mu+3\mu^{3}-\mu^{3}$

 

$\mu$하나를 E(X)로 다시 바꿔줍니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E(X^{3})-3E(X^{2})\mu+3E(X)\mu^{2}-\mu^{3}$

 

괄호 안으로 넣어줍니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E(X^{3})-E(3X^{2}\mu)+E(3X\mu^{2})-\mu^{3}$

 

아래와 같이 합쳐줍니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E(X^{3}-3X^{2}\mu+3X\mu^{2}-\mu^{3})$

 

인수분해하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{d^{3}K_{X}(0)}{dt^{3}}=E\left [ \left ( X-\mu \right )^{3} \right ]$

따라서 3차 누율은 아래와 같습니다. 

 

$\kappa_{3}=E\left [ \left ( X-\mu \right )^{3} \right ]$

 

우변은 3차 중심적률과 같습니다. 따라서 3차 누율과 3차 중심적률은 같습니다.