[누율의 이해] 1. 누율(Culumant)이란 무엇인가?

통계학에서 등장하는 개념인 누율에 대해 공부해볼 것입니다. 아래 목차를 예상합니다. 

1. 누율이란 무엇인가?
2. 누율생성함수 계산하기
3. 1차,2차 누율

4. 3차 누율

5. 고차 누율
6. 왜 굳이 정의했나? 
7. 결합누율

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누율이 무엇인지 알아봅시다. 누율은 적률 대신 사용할 수 있는 값입니다. 적률이 있는데 누율을 굳이 정의한 이유는 누율을 이용하여 계산하는게 더 편한 상황이 있기 때문인 것 같습니다. 

누율은 독특한 방법으로 정의됩니다. 직접적으로 정의되는게 아니라 적률을 거쳐야만 정의될 수 있습니다. 아래 과정을 통해 정의됩니다.

적률생성함수 -> 누율생성함수 -> 누율

적률생섬함수를 이용하여 누율생성함수가 정의되고, 누율생성함수에서 누율이 정의됩니다. 누율보다 누율생성함수가 먼저 정의된다는 특징을 갖습니다. 

적률생성함수에서 출발합시다. 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )$

적률생성함수를 t로 n번 미분하여 0을 넣으면, n차 적률인 $E(X^{n})$이 생성됩니다. 적률생성함수를 설명하는 글은 아니지만, 내용과 관련이 있으니 그 이유도 알아봅시다. 

$e^{Xt}$를 테일러급수를 이용하여 다항함수로 바꿀 수 있습니다. a=0 에서 테일러급수를 적용하겠습니다. 이를 매클로린급수라고 부릅니다.

$e^{Xt}=\frac{1}{0!}+\frac{t}{1!}x+\frac{t^{2}}{2!}x^{2}+\cdots $

적률생성함수 식에 대입합시다. 

$M_{X}(t)=E\left [ \frac{1}{0!}+\frac{t}{1!}x+\frac{t^{2}}{2!}x^{2}+\cdots  \right ]$

아래와 같이 분리해서 쓸 수 있습니다. 

$M_{X}(t)=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+\cdots $

t로 한번 미분해봅시다. 

$\frac{dM_{X}(t)}{dt}=E\left [ X \right ]+E\left [ X^{2} \right ]t+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+\cdots$

t자리에 0을 넣으면 아래와 같이 1차적률이 나옵니다. 

$\frac{dM_{X}(0)}{dt}=E\left [ X \right ]$

나머지도 같은 원리입니다. 적률생성함수를 다시 봅시다. 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\frac{1}{0!}+E\left [ X \right ]\frac{t}{1!}+E\left [ X^{2} \right ]\frac{t^{2}}{2!}+E\left [ X^{3} \right ]\frac{t^{3}}{3!}+\cdots $

 

아래와 같이 시그마를 이용하여 나타낼 수 있습니다. 

 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\sum_{k=0}^{\infty}E\left [ X^{k} \right ]\frac{t^{k}}{k!}$

 

k차 적률을 $\mu_{k}$라고 놓겠습니다. 

 

$M_{X}(t)=E\left ( e^{Xt} \right )=\sum_{k=0}^{\infty}\mu_{k}\frac{t^{k}}{k!}$

적률생성함수에 자연로그를 취한 함수를 '누율생성함수'로 정의합니다.

 

$K_{X}(t)=\ln M_{X}(t)=\ln E\left ( e^{Xt} \right )$

 

n차 누율은 n차 적률과 같은 원리로 정의됩니다. n차 적률은 적률생성함수를 n번 미분하고 t에 0을 넣은 값이었습니다. n차 누율은 누율생성함수를 n번 미분하고 t에 0을 넣은 값입니다. 기호로는 카파를 사용합니다. 

 

$\kappa _{n}=K^{n}(0)$