기하 표준편차란 무엇인가

기하 표준편차는 데이터가 기하평균에서 얼마나 흩어져 있는가를 나타내는 값입니다. 기하평균을 사용하는 것이 적합한 데이터에서 기하 표준편차를 사용합니다. 

 

아래와 같이 크기가 n인 데이터가 있다고 합시다. 

 

$\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$

 

기하평균은 아래와 같습니다. 

 

$\mu_{g}=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

 

양변에 자연로그를 취해줍니다. 

 

$\ln \mu_{g}=\ln \sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

 

로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\ln \mu_{g}=\frac{1}{n} \ln x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$

 

로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 분리해서 써줍니다. 

 

$\ln \mu_{g}=\frac{1}{n}( \ln x_{1}+\ln x_{1}+ \cdots + \ln x_{n})$

 

아래와 같이 한번 더 변형합시다. 

 

$\mu_{g}=e^{\frac{1}{n}( \ln x_{1}+\ln x_{1}+ \cdots + \ln x_{n})}$

 

따라서 기하평균을 아래와 같이 이해할 수 있습니다. 자연상수를 밑으로 하는 지수함수에 $\ln x$ 의 산술평균이 입력된 형태입니다. 

 

$\mu_{g}=e^{E(\ln x)}$

 

이때 기하 표준편차를 아래와 같이 정의하는 것이 자연스럽습니다. 

 

$\sigma_{g}=e^{\sigma(\ln x)}$

 

수식으로 쓰면 아래와 같습니다. 

 

$\sigma_{g}=e^{\sqrt{\frac{ \sum_{i=1}^{n} \left ( \ln x_{i} - \ln \mu_{g} \right )^2 }{n}}}$

 

기하표준편차는 이렇게 정의가 되는건 알겠는데 한가지 의문이 듭니다. 기하평균을 가지고 기존의 표준편차를 구하는 방법으로 하면 안되는걸까? 왜 굳이 새로운 정의를 한걸가?