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@ 통계학 석박사 진학관련55

[수리통계학] #23. 사건 A와 B가 독립이면, A여집합과 B도 독립일까 두 사건 A의 여집합과 B의 교집합에서 부터 유도를 시작합시다. $P(A^{c} \cap B)$ 위 집합은 B에서 A와 B의 교집합을 뺀 집합과 같습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A \cap B)$ A와 B는 독립이므로, 교집합을 아래와 같이 바꿔쓸 수 있습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)-P(A)P(B)$ P(B)로 묶어줍시다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)(1-P(A))$ 1-P(A) 는 $P(A^{c})$와 같습니다. $P(A^{c} \cap B)=P(B)P(A^{c})$ 위 등식이 성립하므로 사건 $B$와 $A^{c}$ 가 독립입니다. 따라서 아래 명제가 성립합니다. 두 사건 A와 B가 서로 독립일 때, $A^{c}$과 B도 서로 독립이다. 2021. 3. 2.
[수리통계학] #22. 두 사건의 독립 두 사건이 독립일 때 유도되는 성질 두 사건(혹은 집합)이 독립이라는 것은 한 사건의 발생이 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. $P(A|B)=P(A)$ 또는 $P(B|A)=P(B)$ 조건부 확률 공식을 적용하면 아래와 같습니다. 위 두 등식중 어느것으로 해도 결과는 같기 때문에 첫 등식으로 유도하겠습니다. $P(A|B)=P(A)=\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $\frac{ P(A \cap B) }{ P(B) }=P(A)$ 양변에 P(B)를 곱합니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ 두 사건이 독립이면 위 등식이 성립하고, 반대로 위 등식이 성립한다면 두 사건은 독립입니다. 왜?? 위 등식.. 2021. 3. 2.
[수리통계학] #20. 진정한 베이즈정리 (사전확률의 갱신) 진정한 베이즈정리란 제목을 붙인 이유는, 베이즈정리의 실제 응용에 가까운 설명이기 때문입니다. 우리는 앞에서 베이즈정리의 공식을 아래와 같이 유도했습니다. $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$ 앞에서 살펴본 두 예시에서는 사전확률인 P(A)를 알고 있다고 가정했습니다. 하지만 사전확률인 P(A)를 알고 있는 경우에는 베이즈정리라는 거창한 이름을 붙일 것도 없이, 조건부확률과 확률의 기본적인 계산방법만 알면 P(A|B)를 구할 수가 있습니다. 베이즈정리의 진정한 의미는 사전확률을 모르는 상황에서 사전확률을 가정하고, 발생한 사건을 토대로 사전확률을 '갱신'하는데 있습니다. 이번 글에서는 그 이야기를 해보려고 합니다. 그사람이 날 좋아할까 예시 베이즈정리에서 사전확률갱신을 설명하는데 자.. 2021. 3. 1.
[수리통계학] #19. 베이즈정리 예시2 : 암 진단 베이즈정리 두번째 예시입니다. 지난 예시보다는 베이즈정리에 의미에 다가갈 수 있는 예시입니다. '다진단'이라는 암 진단키트가 있습니다. 다진단이 털암에 걸린 사람을 암환자로 진단할 확률을 97%입니다. 건강한 사람을 암환자로 오진할 확률은 2%입니다. 만약 다진단으로 K를 검사한 결과 암환자로 나왔을 때, K가 암에 걸려있을 확률은 얼마일까? 조건부확률을 이용하여 확률을 표현하면 아래와 같습니다. K가 암환자로 진단된 사건을 DP, K가 암에 걸린 사람일 확률을 CP라고 하겠습니다. 암에 걸리지 않을 확률은 CN이라고 놓겠습니다. $P(CP|DP)=\frac{ P(CP \cap DP) }{ P(DP) }$ 곱셈공식과 전확률법칙을 이용하여 베이즈정리 형태로 바꾸면 아래와 같습니다. $P(CP|DP)=\fr.. 2021. 3. 1.
[수리통계학] #18. 베이즈정리 예시1 : 불량률 베이즈정리에 대한 이해를 돕기 위해 예시를 풀어봅시다. 아래 예시는 베이즈정리를 사용해서 풀리긴 하지만 베이즈정리의 의미를 이해하는데는 별로 도움이 되지 않는 예시입니다. 조건부확률의 활용 정도이지, 베이즈정리의 본질에 다가가게 해주지는 않습니다. 일단 베이즈정리 수식에 익숙해질 겸 몇가지 예시를 풀어본 뒤에 다시 이야기해보록 합시다. 한 공장에서 어떤 제품을 생산하는데 세가지 기계를 사용한다고 합시다. 기계의 이름은 $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 입니다. 각각의 기계는 전체 생산량의 10%, 30%, 60%를 차지하고 있습니다. 모든 기계는 불량이 발생할 수 있는데요. 각 기계의 불량률은 1%, 2%, 3% 입니다. 불량품이 발생했을 때, 기계 $M_{1}$에서 발생했을 확률을 구하시오. $M.. 2021. 3. 1.
[수리통계학] #17. 베이즈정리 유도 (Bayes' theorem) 베이즈정리 유도 어떤 사건 A와 B가 있을 때, 아래와 같은 조건부확률을 정의할 수 있습니다. $P(A|B)=\frac{P(B \cap A)}{P(B)}$ 위 수식의 분자에 확률의 곱셈공식을 적용합시다. $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$ 위 등식이 베이즈정리입니다. $P(A|B)$ 를 구하고 싶은데, 직접 구하는 것이 어려운 대신 $P(A)$ 와 $P(B|A)$를 구하는 것은 상대적으로 쉽다면 위 등식은 쓸모가 있을겁니다. 변형 표본공간 $S$는 사건 $A$에 의해 둘로 나뉩니다. $A$ 와 $A^{c}$ 입니다. 따라서 위 등식 분모에 전확률공식을 적용할 수 있습니다. $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(A^{c})P(B|A^{c})}$ 일반화.. 2021. 3. 1.
[수리통계학] #16. 전확률공식 전확률공식(law of total probability, 또는 전체확률법칙) 서로 배반인 k개의 사건들 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$가 있다고 합시다. 이 사건들이 표본공간 S를 분할하고 있다고 합시다. 어떤 사건 B가 있다고 할 때, 아래 등식이 성립합니다. 위 조건과 상관없이 이건 그냥 당연히 성립합니다. $P(B)=P(B \cap S)$ 집합 A들이 표본공간을 분할하고 있으므로, 아래와 같이 변형가능합니다. $P(B)=P(B \cap (A_{1} \cup ... \cup A_{k}))$ 분배법칙을 사용합시다. $P(B)=P((B \cap A_{1}) \cup (B \cap A_{2}) \cup ... \cup (B \cap A_{k}))$ 괄호안의 각 집합들은 배반이므로 아래 등식이 성.. 2021. 2. 27.
[수리통계학] #15. 전체포괄(Collectively Exhaustive), 상호배반(Mutually Exclusive), 분할(Partition) 전체포괄(collectively exhaustive) k개의 사건들 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$가 있다고 합시다. 이 사건들의 합집합이 표본공간S와 같다면 이사건들의 모임이 '전체를 이룬다'고 합니다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $\bigcup_{i=1}^{k}P(A_{i})=1$ 줄여서 exhaustive 라고도 부릅니다. exhaustive 의 의미를 알아봅시다. exhaust라는 단어에 더 익숙하실 것입니다. '기진맥진하게 만들다'라는 의미에 너무 익숙해져버려서 감이 잘 안오실 수 있는데요. exhaust 는 다 써버리다 라는 뜻도 있습니다. exhaustive 는 다 써버린, 하나도 빠뜨리지 않은, 철저한 이라는 뜻입니다. 어떤 집합의 모임이 표본공간을 다 써버린거죠. 상호배반(.. 2021. 2. 27.
[수리통계학] #14. 조건부확률, 곱셉공식 조건부확률의 정의 조건부확률은 어떤 사건 A가 일어났다는 전제 하에 사건 B가 일어날 확률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. $P(B|A)$ 사건 A가 일어났으므로, 사건 A가 새로운 표본공간이 됩니다. 이 표본공간에서 사건 B가 일어난다는 것은 사건 $A \cap B$ 가 일어난다는 의미입니다. 따라서 조건부확률은 아래와 같이 정의됩니다. $P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 곱셈법칙 (multiplication rule, 또는 곱셈공식) 조건부확률의 정의를 변형하면 아래와 같습니다. $P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$ 이 수식의 의미를 생각해봅시다. A와 B가 둘다 발생한 확률은 A가 발행하고, A가 발생한 상황에서 B가 발생하면 된다 라고 해석할 수 있습니다... 2021. 2. 27.
[수리통계학] #13. 포함 배제의 원리 (Inclusion–exclusion principle) 확률에서의 포함배제의 원리는 9강과 10강에서 살펴본 합집합의 확률공식을 일반화한 것입니다. 포함배제의 공식(Inclusion–exclusion formula)이라고도 부릅니다. 집합이 2개인 경우 아래 등식이 성립합니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left (AB \right )$ 집합이 세개인 경우는 아래 등식이 성립합니다. $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)$ 집합이 4개인 경우는 어떨까요? $\begin{align} \\&P(A \cup B \cup C \cup D)=P(A)+P.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #12. 부울의 부등식 (Boole's inequality) P는 집합함수고 집합 $A_{n}$은 어떤 사건들이라고 합시다. 이때 아래 부등식이 성립합니다. $P\left ( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \right )\leq \sum_{i=1}^{\infty }P\left ( A_{i} \right )$ 이 부등식을 부울부등식이라고 합니다. 부울대수(논리대수)를 창안한 조지 부울의 이름을 따서 만들어진 부등식입니다. 먼저 좌변을 보면 $A_{1},A_{2},...$ 집합들의 합집합의 확률입니다. 우변은 각 집합들의 확률의 합입니다. 우변은 교집합들이 중복되어 계산될 것이니 당연히 좌변보다 클 것입니다. 교집합이 없을 경우는 같을 거구요. 직관적으로 받아들일 수 있는 내용의 증명은 생략합니다. 집합이 2개인 경우의 부울의 부등식은 아래와 같.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #11. 단조증과 단조감소 집합의 확률 단조증가 또는 단조감소하는 집합의 확률에는 아래와 같은 성질들이 성립합니다. 1) 단조증가 집합의 확률 집합 $C_{n}$을 단조증가집합이라고 합시다. 이때 아래 등식이 성립합니다. $\lim_{n\rightarrow \infty}P(C_{n})=P(\lim_{n \rightarrow \infty}C_{n})=P\left ( \bigcup_{n=1}^{\infty} C_{n} \right)$ 2) 단조감소 집합의 확률 $\lim_{n\rightarrow \infty}P(C_{n})=P(\lim_{n \rightarrow \infty}C_{n})=P\left ( \bigcap_{n=1}^{\infty} C_{n} \right)$ 직관적으로 이해되는 내용의 증명은 생략하겠습니다. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #10. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합3개) 집합이 3개인 경우 합집합의 확률공식은 아래와 같습니다. $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$ 고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다. A,B,C 의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $P(A \cup B \cup C)=P((A \cup B) \cup C)$ 집합 2개인 경우의 합집합 확률공식을 적용합시다. $P(A \cup B \cup C)=P(A \cup B)+P(C)-P((A \cup B) \cap C)$ 우번의 첫째항에 한번더 적용합시다. $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)-P.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #9. 합집합의 확률 공식을 수식으로 증명(집합2개) 집합이 2개인 경우 합집합의 확률 공식은 아래와 같습니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( A\cap B \right )$ 고등학교 때는 벤다이어그램을 이용해서 유도했을겁니다. 이번에는 수식을 이용해서 유도해봅시다. 교집합기호는 생략하겠습니다. A와 B의 합집합은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( AB^{c} \cup AB \cup A^{c}B \right )$ 우변의 세 집합이 서로 배반이므로 아래와 같이 변형이 가능합니다. $P\left ( A\cup B \right )=P\left ( AB^{c} \right )+P\left ( AB.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #8. 확률분포의 수학적 정의 (확률의 공리) 확률분포를 수학적으로 정의해봅시다. S를 표본공간, A를 사건이라고 합시다. P를 사건 A에서 실수(real number)로 대응시키는 함수라고 합시다. 이때, 함수 P가 아래 세가지 공리(조건)을 만족한다면, 함수 P는 확률분포입니다. Axiom 1: 모든 A에 대해 $P(A)\geq 0$ 이다. Axiom 2: $P(S)=1$ 이다. Axiom 3: 만약 $A_{1},A_{2},...$ 가 서로 배반이라면 아래 등식이 성립한다. $P\left ( \bigcup_{i=1}^{\infty }A_{i} \right )=\sum_{i=1}^{\infty }P\left ( A_{i} \right )$ 읽어보면 아시겠지만 세가지 공리는 당연한 것들입니다. 확률은 0보다 크고, 확률의 합은 1이고, 서로 배반이면.. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #7. 실험, 시행, 표본공간, 사건, 원소 1) 실험 (experiment) 무한히 반복할 수 있는 임의의 절차를 '실험' 이라고 합니다. 영어로는 experiment 입니다. 예를들면 주사위 던지기, 동전던지기 등이 있습니다. 2) 시행 (trial) 실험을 실제로 수행하는 것을 시행이라고 합니다. 영어로는 trial 입니다. 실험과 시행을 같은 의미로 쓰기도 합니다. 3) 표본공간 (sample space) 표본공간은 실험을 시행하여 나올 수 있는 모든 가능한 결과의 집합입니다. 주사위를 던진다고 하면 {1,2,3,4,5,6}이 표본공간이고, 동전을 던진다고 하면 {H,T} 이 표본공간입니다. 동전을 두개 던질 때의 표본공간은 아래와 같습니다. {HH,TT,HT,TH} 4) 사건 (event) 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 사건은 우리가 .. 2021. 2. 26.
[수리통계학] #6. 순열과 조합 순열과 조합은 고등학교에서 이미 배운 내용입니다. 다시 설명하는 이유는 기호가 달라졌기 때문입니다. 1) 순열 고등학교에서 순열을 배울 때는 아래와 같이 나타냈었습니다. $_{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$ 수리통계학에서는 순열을 아래와 같은 기호로 나타냅니다. $P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$ 2) 조합 고등학교에서 조합을 배울 때는 아래와 같이 나타냈었습니다. $_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 수리통계학에서는 조합을 아래와 같은 기호로 나타냅니다. $\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 2021. 2. 24.
[수리통계학] #5. 집합의 단조증가, 단조감소 아래와 같은 집합열이 있다고 합시다. $A_{n}$은 집합입니다. $A_{1},A_{2},...$ 영어로 sequence of set 인데, 원문의 의미는 받아들여 지는데 한글로 번역하려니 애매하네요. 집합배열? 집합열? 등으로 번역될 것 같은데, 집합열이라고 부르겠습니다. 이러한 집합열이 '단조증가' 하거나 '단조감소'할 수 있습니다. 단조증가와 감소가 무엇인지 설명드리겠습니다. 1) 단조증가(monotone increasing) 단조증가는 집합이 갈수록 같거나 커진다는 뜻입니다. nondecreasing과 같은 의미입니다. 첨자가 높은 집합이 낮은 집합을 포함합니다. 아래와 같은 관계가 성립됩니다. $A_{1} \subset A_{2} \subset ...$ 또한 아래와 같은 등식을 도출할 수 있습니.. 2021. 2. 22.
[수리통계학] #4. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 영단어 집합과 관련된 영단어를 알아봅시다. 집합의 연산인 교집합, 합집합에서는 교환,결합,분배법칙이 성립합니다. 이 용어들의 영단어를 알아봅시다. 1) 교환법칙 : Commutative property(Communitivity) Commutative 는 가환성의(교환 가능한)이라는 의미입니다. 2) 결합법칙 : Associative property (=Associativity) Associative 는 연합의, 연상의 라는 의미입니다. 2) 분배법칙 : Distributive laws Distributive 는 분배의, 분배에 관한 이라는 의미입니다. 2021. 2. 19.
[수리통계학] #3. 합집합,교집합,여집합,배반집합,부분집합 영단어 집합과 관련된 영단어를 알아봅시다. 단어를 알아야 영어로 된 수학 강의를 보거나 자료를 읽을 때 수월하게 이해할 수 있습니다. 1) 합집합 : union 2) 교집합 : intersection 3) 여집합 : complement 4) 배반집합 : disjoint, mutually exclusive 5) 부분집합 : subset 2021. 2. 19.
[수리통계학] #2. 조건제시법과 콜론(:) 조건제시법을 나타내는 방법입니다. 고등학교때는 bar( | ) 를 사용했는데요. 제가 참고한 세개의 문헌 모두 콜론(:)을 사용했습니다. 몇가지 조건제시법 사용 예시를 보여드릴테니 표현방식에 익숙해져봅시다. 일부러 여러 책에 나온 다양한 표현방법을 넣었습니다. 조건제시법은 괴롭히려고 만든게 아니라 편하려고 만든 표현법입니다. 익숙해지는데 에너지가 들긴 하지만 한번 익숙해지면, 설명하려면 긴 이야기를 짧게 나타낼 수 있습니다. 킹받네와 비슷합니다. 1) $\left \{ \omega \in \Omega : \ \omega \in A \ or \ \omega \in B \ or \ \omega \in both \right \}$ 여기서 Ω는 표본공간입니다. Ω의 원소 ω 중에서, A의 원소이거나 B의 원소이.. 2021. 2. 19.
[수리통계학] #1. 여러 개의 집합의 합집합과 교집합 표현식 합집합과 교집합의 표현식을 알아봅시다. 편하려고 만든 기호입니다. 길게 쓰기 싫어서 짧게 줄인 것이죠. 별거 없습니다. 대신 익숙해져야 한눈에 알아볼 수 있습니다. 아래와 같이 n개의 집합이 있다고 합시다. $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ 1) 여러 집합의 합집합 표현방식 위 집합들의 합집합은 아래와 같은 기호로 나타냅니다. $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$ 집합이 무수히 많은 경우는 아래와 같이 무한대 기호를 사용하여 나타냅니다. $A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}$ 2) 여러 집합의 교집합 표현방식 위 집합들의 교집합은 아래와 같은 기.. 2021. 2. 19.
[수리통계학] 프롤로그 취미(?) 또는 자기계발의 일환으로 통계학 공부를 시작했었고, 현재는 통계의본질, 통계의 도구들이라는 유튜브 채널을 운영하고 있습니다. t검정의 원리가 궁금해서 시작한 공부라서 t검정을 이해하는 것이 목적인 '손으로 푸는 통계'라는 강의와 여러가지 확률분포를 공부해보는 '손으로 푸는 확률분포' 라는 강의를 주로 진행하고 있습니다. 통계의 본질 채널에서 진행합니다. 통계의 도구들에서는 엑셀, R, 파이썬 등으로 통계분석 및 시각화하는 방법을 강의하고 있습니다. 통계를 공부하면서 통계와 관련된 수학적인 도구들을 더 많이 갖춰야 겠다는 생각이 자연스레 들어서, 수리통계학 공부를 시작하려고 합니다. 강의를 듣거나 교제를 수동적으로 따라가며 읽는 것을 못하는 성격이라, 수리통계학 역시 제 방식대로 공부해보려고 합.. 2021. 2. 19.
통계학과 학부에서 배우는 과목들 학년별 정리 *서울대학교 기준입니다. 1학년 1) 전산통계 및 실험- 통계 소프트웨어인 R의 사용법을 배움- 교재 : 빅데이터 분석 도구 R 프로그래밍 2학년 1) 확률의 개념 및 응용- 기초확률론이라고 생각하면됨- 교재 : A first course in probability (Sheldon M.Ross)- 교재 : 확률의 개념 및 응용(전종우) 2) 해석개론- 기초미적분학이라고 생각하면됨- 교재 : Principle of mathematical analysis (W.Rudin)- 교재 : 해석개론 (김성기) 3) 선형대수학- 벡터, 행렬, 선형변환 등을 배움- 교재 : Linear algebra (Stephene H.Friedberg)- 교재 : 선형대수와 군 (이인석) 3학년 1) 수리통계학- 통계학 개론이라고.. 2018. 12. 28.
서울대 통계학과 대학원 필답/구술고사 과목 및 도서명 1. 필답고사 : 수리통계, 회귀분석 + 해석개론, 선형대수 - 수리통계학수리통계학(김우철)Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference - 회귀분석Introduction to Linear Regression Analysis-Montgomery - 해석개론Elementary Classical Analysis second edition-J.E. Marsden & M.J. Hoffman-W.H. Freeman and Company New York-1993해석개론(김성기) - 선형대수선형대수와 군(이인석)Linear Algebra-Friedberg 2. 석사 구술고사 : 필답과 동일 3. 박사 구술고사 : 통계이론1, 확률론1, 응용통계 - 통계이론.. 2018. 11. 24.
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