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[손으로 푸는 확률분포] 정규분포 (1) 풀리지 않았던 의문 아마 여러분이 정규분포를 처음 접한 때는 고등학교 확률과 통계 시간일 것입니다. 고등학교 확률과 통계 시간에는 정규분포를 이렇게 가르칩니다. 연속확률변수 X의 확률밀도함수가

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$ 일 때 X의 확률분포를 정규분포라고 한다. 마치 하늘에서 정규분포가 뚝 하고 떨어진 것처럼 배웁니다. 그리고 바로 정규분포의 성질을 배웁니다.

$\mu$ 는 평균이고,

$\sigma$ 는 표준편차이다. 좌우 대칭이다. 평균에 가까울 수록 확률밀도가 크고 멀 수록 작다. 모양은 종모양이다. 우리는 이항분포를 배울 때 저렇게 배우지 않았습니다. 이항분포의 확률질량함수를 먼저 .. 2021. 9. 25.

[손으로 푸는 확률분포] 지수분포 (8) 비기억성 (무기억성) 지수분포의 누적분포함수는 아래와 같습니다.

$F(t)=1-e^{-\lambda t}$ 람다는 어떤 사건이 단위시간동안 발생하는 평균 횟수입니다. 누적분포함수

$F(t)$ 는 사건이 발생할 때 까지 걸리는 시간이 t 이하일 확률입니다. 다른 말로 하면 시간 t가 되기 전에 사건이 발생할 확률입니다. 지수분포는 비기억성이라는 대표적인 특징있습니다. 이전 일을 기억하지 못한다는 의미인데요. 수식으로 이해하는 편이 쉽습니다. 아래 성질을 비기억성이라고 합니다.

$P(X>a+t|X>a)=P(X>t)$ 먼저 이 성질을 설명하고 나서, 지수분포에서 성립한다는 것을 보이겠습니다. 확률변수 X는 사건이 처음 발생한 시간입니다. 따라서 우변은 t 시간 이후에 사건이 발생할 확률입니다. 사건을 어떤 물건의 '고장'이라고 한.. 2021. 9. 25.

로그스케일 그래프는 언제 쓰는걸까? (로그-로그 그래프) 책이나 논문을 읽다 보면 로그스케일 그래프가 나올 때가 있습니다. 로그-로그 그래프라고도 부르는데요. 제가 가장 최근에 본 로그 그래프는 아래 그래프입니다. 「벤 버냉키, 연방준비제도와 금융위기를 말하다」라는 책의 207페이지에 나오는 그래프입니다. 실질 GDP가 매년 3% 정도의 성장률을 보이고 있다는 내용입니다. 기준 년의 GDP를 a, 매년 3%의 성장을 한다면 n년 뒤의 실질 GDP는 아래와 같은 함수로 정의할 수 있습니다.

$f(n)=a(1.03)^{n}$ 지수함수입니다. 그래프로 그리려면 세로로 아주아주 긴 그래프가 될 것입니다. 값이 너무 빠르게 커지기 때문입니다. 이런 경우에 양변에 로그를 취하면 선형 그래프로 만들 수 있습니다.

$\ln f(n)=n\ln a(1.03)$ 로그 그래프로 그.. 2021. 9. 24.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 77. 표본분산의 분포를 왜 유도했나? 우리는 표본분산의 분포를 유도했습니다. n-1 카이제곱분포입니다.

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$ 표본분산의 분포를 유도하기 시작한게 35강입니다. 71강에 완료했으니 37강에 걸쳐 유도한 것입니다. 너무 오랜시간 유도하다 보니 유도 자체가 목적이 되어서 왜 유도한 것인지 잊어버리셨을 것 같습니다. 오늘은 유도한 이유를 다시 설명하며 강의의 방향성을 재정립하려고 합니다. z검정을 배우고 있었습니다. z검정은 표본평균의 분포가 평균을 모평균으로 하고 분산이 모분산/표본크기인 정규분포를 따른다는 성질을 기반으로 합니다.

$\bar{X} \sim N\left ( \mu, \frac{\sigma^{2}}{n} \right )$ 문제는 모분산을 모른다는데 .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 76. 표본분산의 분포 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 표본분산의 분포를 유도했습니다. 크기가 n인 표본분산의 분포는 n-1 자유도 카이제곱분포입니다.

$\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2} \sim \chi^{2}_{n-1}$ 오늘은 유도과정을 간단히 요약해봅시다. 표본분산의 정의에서 출발합니다.

$s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( X_{i}-\bar{X} \right )^{2}}{n-1}$ 아래와 같이 변형했습니다. $\frac{n-1}{\sigma^{2}}s^{2}= \left (\frac{X_{1}-\mu}{\sigma} \right )^{2}+ \cdots + \left (\frac{X_{n}-\mu}{\sigma} \right )^{2}- \left (\frac{\bar{X}-\mu}{\f.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 75. 표본분산의 분포 유도 (40) 표본분산의 분포 유도 완성 및 오류 수정 우리는 n자유도 카이제곱분포와 적률생성함수를 유도한 상태입니다.

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$ $M_{X}(t)= \left ( 1-2t \right )^{-\frac{n}{2}} \quad \left ( t 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 74. 표본분산의 분포 유도 (39) 카이제곱분포의 적률생성함수 카이제곱분포를 유도한 김에 적률생성함수도 구해봅시다. 이어지는 강의에서 사용될 예정입니다. 카이제곱분포는 아래와 같습니다.

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right ) } e^{-\frac{x}{2}} x^{\frac{n}{2}-1}$ 적률생성함수의 정의는 아래와 같습니다.

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$ 카이제곱분포에 적용하면 아래와 같습니다. 카이제곱분포의 확률변수는 정규분포를 따르는 확률변수의 제곱이므로 항상 양수입니다. 따라서 적분구간은 0부터 시작합니다. $M_{X}(t)=\int_{0}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Ga.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약 [통계 기초] 73. 표본분산의 분포 유도 (38) 카이제곱분포 유도과정 요약 표본분산의 분포를 유도하기 위해 카이제곱분포를 지난시간까지 유도했습니다. 표본분산의 분포가 카이제곱분포를 따르기 때문입니다. 카이제곱분포를 아주 여러 강의에 걸쳐 유도했기 때문에 유도 과정을 요약할 필요가 있을 것 같습니다. 오늘은 카이제곱분포 유도 과정을 요약해보갰습니다. 먼저 누적분포함수의 정의를 이용하여 1자유도 카이제곱분포를 유도했습니다. (38강)

$f_{1}(x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x_{1}}{2}}x_{1}^{-\frac{1}{2}}$ 컨볼루션 적분을 이용하여 2~5자유도 카이제곱분포를 유도했지만 규칙을 찾을수는 없었습니다. 컨볼루션적분을 이용한 점화식은 찾아냈습니다. .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 72. 표본분산의 분포 유도 (37) 카이제곱분포 완성 우리는 표본분산의 분포를 유도하고 있었습니다. 표본분산의 분포를 유도하는 과정에서 카이제곱분포가 등장했고, 카이제곱분포를 유도하는 과정에서 감마함수가 등장했습니다. 감마함수를 유도하느라 너무 많은 시간이 흘러서 뭘 하고 있었는지 가물가물하네요. 카이제곱분포부터 완성시켜봅시다. 우리가 46강에서 유도했던 카이제곱분포의 형태는 아래와 같습니다.

$f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\left ( \frac{n}{2}-1 \right )!} e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}$ $f_{n}(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \left \{ \left ( \frac{n}{2}-1 \right ) \left ( \frac{n}{2}-2 \right .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 71. 표본분산의 분포 유도 (36) 감마함수 관련 다루지 못한 내용들 우리는 지난시간까지 감마함수를 유도하고 양의 실수 영역에서 수렴함을 보였습니다.

$\Gamma (z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 몇가지 더 다루고 싶었지만 시간 관계상 다루지 못한 내용을 언급만 하고 넘어가려고 합니다. 본 강의의 개정버전에서는 다룰 예정이라 기억용으로 언급하는 것입니다. 1) 감마함수의 무한곱형과 적분형의 동치관계입니다. 함수의 모양은 다르지만 한 함수로 다른 함수를 유도할 수 있는 관계입니다. 2) 감마함수의 복소수 영역에서의 수렴성입니다. 0을 포함한 음의 정수를 제외한 복소수 영역에서 감마함수가 수렴합니다. 두가지 내용은 기억해 두었다가 개정버전에서 다루도록 하겠습니다. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 70. 표본분산의 분포 유도 (35) 감마함수 적분형 유도과정 요약 우리는 지난시간까지 감마함수 적분형을 유도했고 양의 실수 영역에서의 수렴성을 보였습니다. 전체 과정을 간단히 요약해봅시다. 오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다.

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$ 이런저런 부분적분을 거쳐 아래 등식을 유도합니다. 적분과 팩토리얼이 연결된 식입니다.

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$ 치환을 여러번 하며 아래 등식을 유도합니다.

$(x-1)!=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 이 함수가 바로 감마함수입니다. $\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 69. 표본분산의 분포 유도 (34) 감마함수 수렴성 증명과정 요약 감마함수 적분형의 수렴성을 증명했구요. 아래 다섯단계로 증명을 했습니다. 1)

$a>0$ 일 때,

$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2)

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용,

$0 0$ 에서

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 증명 감마함수 수렴성 증명을 마무리하면서 증명 과정을 간단히 요약해봅시다. 5단계부터 거꾸로 내려가며 요약.. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 68. 표본분산의 분포 유도 (33) 감마함수 수렴성 증명 #4 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 4계를 증명했고, 오늘은 5단계를 증명하겠습니다. 다시 생각해보니 6번 증명이 필요가 없습니다. 5번에서 x>0 로 바꾸고 한번에 증명을 하겠습니다. 증명과정 요약 1)

$a>0$ 일 때,

$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2)

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용,

$0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용,

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수 .. 2021. 9. 22.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 67. 표본분산의 분포 유도 (32) 감마함수 수렴성 증명 #3 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 지난 시간에는 1-3단계를 증명했고, 오늘은 4단계를 증명하겠습니다. 증명과정 요약 1)

$a>0$ 일 때,

$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2)

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용,

$0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용,

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수

$x \geq 1$ 에서

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴 .. 2021. 9. 18.

[손으로 푸는 통계 ver1.0] 66. 표본분산의 분포 유도 (31) 감마함수 수렴성 증명 #2 감마함수 적분형의 수렴성을 증명하고 있습니다. 아래와 같이 6단계로 나눠서 증명하는데요. 오늘은 1-3단계를 증명하겠습니다. 3단계 수식에서 등호를 없앴습니다. 증명과정 요약 1)

$a>0$ 일 때,

$\int_{0}^{\infty}e^{-at}dt$ 의 수렴 증명 2)

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n-1}}{e^{\frac{1}{2}t}}=0$ 증명 3) 2번 이용,

$0 < e^{-t}t^{n-1} < e^{-\frac{1}{2}t}$ 증명 4) 3번 이용,

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt \ (n \in N)$ 수렴 증명 5) 4번 이용, 실수

$x \geq 1$ 에서

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$ 수렴.. 2021. 9. 18.

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