[수리통계학] #27. 확률밀도함수

표본공간을 S라고 놓겠습니다. 어떤 실험을 했고, 발생한 사건들의 집합이 표본공간입니다. 

이 실험에서 확률변수 X를 정의했고, X가 가질 수 있는 값은 아래와 같다고 합시다. X는 연속확률변수입니다. 

$X=\left \{ a\leq x\leq b  \right \}$

확률변수와 확률변수가 발생할 확률을 연결하는 함수를 정의할 수 있습니다. 이를 확률함수라고 합니다. 

확률변수 → (확률함수) → 확률

연속확률변수의 확률함수는 연속함수입니다. 이때는 함수 값이 확률이 아니라 함수의 면적이 확률이 됩니다. 따라서 확률함수 $f_{X}(x)$는 아래와 같이 정의됩니다. 

$P[(a,b)]=P[\left \{ c \in S:a<X(c)<b \right \}]=\int_{a}^{b} f_{X} (x)dx$

확률변수가 연속확률변수인 경우의 확률함수를 확률밀도함수라고 부릅니다. 

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예시

확률밀도함수의 대표적인 예시로는 정규분포가 있습니다. 

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma} \right )^2}$

확률변수가 어떤 구간 사이의 실수로 정의되는 경우의 확률함수는 확률밀도함수입니다. 정규분포의 경우 확률변수가 음의 무한대에서 양의 무한대 사이의 실수입니다.