[수리통계학] #26. 확률질량함수

확률질량함수

표본공간 S가 아래와 같다고 합시다. 어떤 실험을 했고, 발생한 사건들의 집합입니다. 

$S=\left \{ c_{1},c_{2},...,c_{n} \right \}$

이 실험에서 확률변수 X를 정의했고, X가 가질 수 있는 값은 아래와 같다고 합시다. 

$X=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{m} \right \}$

이때 확률변수 $x_{i}$와 이 확률변수가 발생할 확률을 연결하는 함수를 정의할 수 있습니다. 이 함수를 확률함수라고 부릅니다. 

 

확률변수 → (확률함수) → 확률

 

확률변수가 이산확률변수인 경우에는 이러한 확률함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 연속확률변수인 경우는 확률밀도함수라고 부르는데 다음 글에서 다루겠습니다. 

이산확률변수의 확률함수 : 확률질량함수

연속확률변수의 확률함수 : 확률밀도함수

 

(왜 질량과 밀도라는 말이 붙었나 설명해놓은 글)이산확률변수의 확률함수인 확률질량함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$p(x_{i})=P(X=x_{i})=P[\left \{ c:X(c)=x_{i} \right \}] \qquad for \ i=1,..,m$

 

가장 우변의 수식을 설명드리겠습니다. 확률변수가 $x_{i}$가 되는 사건은 하나일 수도 있고, 여럿일 수도 있습니다. 따라서 확률변수 $x_{i}$ 에 해당되는 사건들을 조건제시법으로 나타낸 것입니다. 예시를 통해 더 이해해봅시다.

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예시

동전을 세번 던질 때, 앞면이 나온 수

실험 : 동전 세번 던짐
표본공간 : S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
확률변수 : 앞면이 나온 수

표본공간의 원소가 발생할 확률은 아래와 같습니다. 

$P(\left \{ HHH \right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ HHT \right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ HTH\right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ THH \right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ HTT \right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ THT \right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ TTH \right \})=\frac{1}{8}$
$P(\left \{ TTT \right \})=\frac{1}{8}$

확률변수를 X라고 하면 아래 값들을 갖습니다.

$X(HHH)=3$
$X(HHT)=2$
$X(HTH)=2$
$X(THH)=2$
$X(HTT)=1$
$X(THT)=1$
$X(TTH)=1$
$X(TTT)=0$

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 네가지입니다. 집합으로 나타내면 아래와 같습니다. 

$X={0,1,2,3}$

확률변수를 이용하여 나타내기 위해 함수를 하나 정의하겠습니다. $p(x)$라는 함수입니다. 아래와 같은 의미를 갖습니다. 

$p(1)=P(\left \{ c\in S:X(c)=1 \right \})$

조건제시법을 원소나열법으로 쓰면 아래와 같습니다. 

$p(1)=P({HTT,THT,TTH})$