[손으로 푸는 통계 ver1.0] 31. 특성함수를 이용한 두 확률변수 차의 분포함수 유도 (2) 정규분포의 특성함수

 

 

 

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우리는 2표본 z검정을 공부하고 있습니다. 두 모집단의 평균을 비교하는 검정입니다. 중심극한정리를 이용하여 두 모집단의 표본평균이 정규분포를 따른다고 가정했습니다. 두 집단의 표본평균의 분포는 아래와 같습니다. 

표본평균의 차이를 Y라고 놓고, Y의 분포를 유도하기로 했는데요. 

 

Y의 분포를 유도하는 방법은 세가지가 있었습니다. 

1) 특성함수
2) 컨볼루션 적분
3) 기하적인 방법

원래 세가지를 다 다루려고 했는데요. 내용이 또 산으로 갈 것 같아서, 1번을 이용해서 유도하고 빨리 진행하기로 했습니다. 수학적인 다양한 접근방법들은 나중에 따로 강의를 만들어 다루도록 하겠습니다. 

특성함수를 이용하여 유도하기로 했습니다. 지난시간에 특성함수가 무엇인지 배웠구요. 오늘은 정규분포의 특성함수를 구해볼겁니다. 두 모집단의 표본평균이 정규분포를 따르기 떄문에, 정규분포의 특성함수를 구하는 것입니다. 

정규분포의 특성함수를 유도하는 방법은 세 가지가 있습니다. 현재까지 제가 찾은 것들이고 더 있을 수도 있습니다. 

1) 이미 유도한 적률생성함수 이용
2) 오일러공식 이용
3) 코시 적분정리 이용

가장 쉬운 첫번째 방법으로 유도하겠습니다.

확률변수 X의 적률생성함수의 정의와 특성함수의 정의는 아래와 같습니다. 

아래는 특성함수입니다.

 

 

아래는 적률생성함수입니다. 

 

 

적률생성함수를 특성함수로 바꾸기 위해서는 아래와 같이 t 대신 it 를 대입하면 됩니다. 적률생성함수 t 자리에 it를 대입해봅시다. (i는 허수입니다.)

결과가 어떤가요?? 우변을 보시면, 특성함수와 같아진 것을 알 수 있씁니다. 따라서 적률생성함수 t자리에 it를 대입한 함수는 특성함수가 됩니다. 

우리가 13강에서 유도한 정규분포의 적률생성함수는 아래와 같습니다. 

 

t 자리에 -it 를 넣어서 특성함수로 바꿔봅시다.

 

따라서 정규분포의 특성함수는 아래와 같습니다. 

구글링을 하다 보니 특성함수는 항상 존재하지만, 적률생성함수는 그렇지 않다는 내용을 보게 되었습니다. 이 부분은 공부해서 나중에 다루도록 하겠습니다. 

오늘 배운 내용을 아래와 같이 정리할 수 있습니다. 

확률변수 X가 아래와 같은 정규분포를 따른다고 하자. 

이 확률분포의 특성함수는 아래와 같다.