[손으로 푸는 통계] 29. 2표본 z검정 (2) 원리

우리는 아래와 같은 두 모집단의 평균을 비교하고 있습니다. 모집단의 평균을 알지 못하기 때문에 표본을 하나씩 뽑았습니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

이제 우리는 두 모집단의 평균을 통계적으로 비교할 방법을 찾아야 합니다. 우리에게 주어진 것들은 아래와 같습니다. 

1) 각 모집단의 분산 ($\sigma_{A}^2$, $\sigma_{B}^2$)
2) 각 모집단의 표본평균의 분포

$f\left ( \bar{X}_{A} \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma_{A}}{\sqrt{n}}}e^{-\frac{\left ( \bar{X}_{A}-\mu_{A} \right )^2 }{2\frac{\sigma_{A}^2}{n}}}$

$f\left ( \bar{X}_{B} \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma_{B}}{\sqrt{n}}}e^{-\frac{\left ( \bar{X}_{B}-\mu_{B} \right )^2 }{2\frac{\sigma_{B}^2}{n}}}$

3) 각 모집단에서 뽑은 표본평균 ($\bar{X}_{A,1}$ , $\bar{X}_{B,1}$)

지난시간에 세운 귀무가설과 대립가설은 아래와 같습니다. 

귀무가설 : 두 모집단의 평균이 같다 ( $\mu_{A}=\mu_{B}$ )
대립가설 : 두 모집단의 평균이 다르다 ( $\mu_{A} \leq \mu_{B}$ )

우리가 뽑은 표본의 '희박함 정도'를 이용하여 통계적인 판단을 내려야 하는데요. 통계분야의 선배들은 이런 아이디어를 찾아냈습니다. 

선배들은 각 모집단에서 뽑은 표본평균의 확률변수를 $\bar{X}_{A}$, $\bar{X}_{B}$ 라고 놓았습니다. 그리고 두 확률변수의 차를 Y라는 확률변수로 놓았습니다. 

$Y=\bar{X}_{A}-\bar{X}_{B}$

만약 우리가 Y의 분포를 구할 수 있다면, 뽑은 표본평균의 차인 $\bar{X}_{A,1}-\bar{X}_{B,1}$은 이 분포상의 한 점이 됩니다. 따라서 p값을 정의할 수 있게 되고 통계 검정이 가능해집니다. 

확률변수 Y의 분포를 구하는 방법은 아래와 같은 세가지 방법이 있습니다. 

1) 특성함수를 이용하는 방법 
2) 컨볼루션 적분을 사용하는 방법 
3) 기하적인 방법 다음 시간부터 한 방법씩 알아보도록 하겠습니다. 

Y의 분포는 다음시간부터 구하려고 합니다. 가장 쉬운 방법인 첫번째 방법을 이용해서 확률변수 Y의 분포를 구하겠습니다. 

 

 

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