[손으로 푸는 통계] 28. 2표본 z검정 (1) 소개, 두 모집단과 표본

지금까지 우리는 1표본 Z검정을 배웠습니다. 1표본 Z검정은 모집단에서 표본을 하나 추출하여, 모집단의 평균을 검정하는 것입니다. 예를 들면 모집단의 평균이 30으로 알려진 상황에서 '정말 30이 맞아?'라는 의문을 해결하기 위해 검정을 하는 것입니다. 

오늘 부터 배워볼 검정은 2표본 Z검정입니다. 2표본이니까 표본을 2개 뽑는다는 뜻인데요. 하나의 모집단에서 표본을 2개 뽑는 것은 아닙니다. 2표본 Z검정에서 모집단은 2개입니다. 2표본 Z검정은 두 모집단의 평균을 비교하는 검정입니다. 각 모집단에서 표본을 하나씩 뽑기 때문에 표본의 개수는 총 2개가 됩니다. 예를 들어 봅시다. 

두 모집단 A와 B가 있습니다. 두 모집단의 분산만 알려져 있고 평균은 모르는 상황이라고 합시다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

우리는 두 모집단의 평균이 다르다고 주장하고 싶은 상황입니다. 귀무가설과 대립가설을 세우면 아래와 같습니다. 

 

귀무가설 : 두 모집단의 평균이 같다 ( $\mu_{A}=\mu_{B}$ )

대립가설 : 두 모집단의 평균이 다르다 ( $\mu_{A} \leq \mu_{B}$ )

 

알려지지 않은 모집단의 평균을 $\mu_{A}$ 와 $\mu_{B}$ 로 놓았습니다. 모르는 미지의 값입니다.

 

표본평균의 평균은 모평균이므로 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다. 

 

귀무가설 : $E[\bar{X}_{A}]=E[\bar{X}_{B}]$

대립가설 : $E[\bar{X}_{A}] \leq E[\bar{X}_{B}]$

 

$\bar{X}_{A}$ 는 모집단 A에서 뽑은 표본평균의 확률변수이고 $\bar{X}_{B}$ 는 모집단 B에서 뽑은 표본평균의 확률변수입니다.

 

귀무가설은 우리가 무효로 만들고 싶은 가설입니다. 이 가설이 맞다고 놓은 뒤, 벌어지는 일이 확률적으로 매우 희박하다면 이 가설이 틀렸다는 합리적 의심을 할 수 있습니다. 

 

각 모집단에서 크기가 n인 표본을 하나씩 뽑아봅시다. 각 표본의 평균은 아래와 같습니다. 

 

$\bar{X}_{A,1}$

$\bar{X}_{B,1}$

 

그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

이번에는  확률분포를 가정해봅시다. 크기 n이 충분이 크다면 각 모집단의 표본평균들은 아래 분포를 따르게 됩니다. 

 

$f\left ( \bar{X}_{A} \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma_{A}}{\sqrt{n}}}e^{-\frac{\left ( \bar{X}_{A}-\mu_{A} \right )^2 }{2\frac{\sigma_{A}^2}{n}}}$

 

$f\left ( \bar{X}_{B} \right )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sigma_{B}}{\sqrt{n}}}e^{-\frac{\left ( \bar{X}_{B}-\mu_{B} \right )^2 }{2\frac{\sigma_{B}^2}{n}}}$

 

이런 질문을 종종 받습니다. 표본을 하나밖에 안뽑았는데, 어떻게 분포를 가정할 수 있냐는 질문입니다. 

이런 의문이 드는 분들은 아래 글을 참고하세요. 

https://hsm-edu.tistory.com/1574

오늘은 두 모집단을 설정하고 가설을 세우고 각 모집단의 표본평균 분포를 가정해보았습니다. 다음 시간에는 2표본 Z검정의 원리를 알아봅시다. 

 

 

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