[통계 Q&A] 표본을 하나만 뽑았는데 어떻게 분포를 가정할 수 있나요? (중심극한정리)

Q) 표본을 하나만 뽑았는데 어떻게 분포를 가정할 수 있나요? 

 

A) 표본을 뽑지 않아도 분포는 가정할 수 있습니다. 

 

정말 자주 받는 질문입니다. 많은 분들이 헷갈려 하시는 내용이고 왜 헷갈려하시는지 이해가 됩니다. 헷갈리는 상황을 먼저 설명하겠습니다. 

 

모집단의 평균이 $\mu$라고 알려져 있는데요. 사실인지 확인하기 위해 표본을 뽑아 통계검정을 하려고 합니다. 크기가 n인 표본을 뽑았구요. 표본의 평균은 $\bar{X}_{1}$, 분산은 $s^2$입니다.   

 

 

이때 표본의 크기 n이 충분히 크면 중심극한정리를 적용할 수 있습니다. 표본의 크기 n이 충분히 크면 표본평균의 분포가 아래 분포를 따른다는 것이 중심극한정리입니다. 

 

$\bar{X} \sim N\left (\mu,\frac{\sigma^2}{n} \right )$

 

우리가 뽑은 표본의 평균은 위 분포상의 한 점입니다. 여기서 이런 질문을 하시는 분들이 많습니다. 

 

"아니 표본을 1개밖에 안뽑았는데 어떻게 분포를 가정하죠??"

 

다시 처음으로 돌아가봅시다. 모집단만 있고 표본은 아직 뽑지 않은 상황입니다. 

 

 

이 모집단의 표본들 중에서 크기 n이 충분히 큰 표본들은 아래 분포를 따른다는 것이 수학적으로 증명되었습니다. 

 

$\bar{X} \sim N\left (\mu,\frac{\sigma^2}{n} \right )$

 

표본을 실제로 뽑기도 전에 위 사실은 수학적으로 성립합니다. 이 사실이 중심극한정리입니다. 실제로 표본을 뽑았냐는 여부와 상관없이 성립합니다. 

 

예를들면 위 모집단에서 뽑을 수 있는 크기 50인 표본들은 아래 분포를 따릅니다. 

 

$\bar{X} \sim N\left (\mu,\frac{\sigma^2}{50} \right )$

 

크기가 50인 표본을 실제로 뽑았건 안뽑았건 그건 중요하지 않습니다. 수학적으로 성립한다는게 증명된 것입니다. 만약 실제로 크기가 50인 표본을 뽑아 표본평균을 구하면? 위 분포상의 한 점인 겁니다. 

 

 

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