[통계 Q&A] 표본추출 문제 대표유형 풀이

 

 

Question)

 

어떤 전구 생산 공장에서 생산되는 전구의 수명은 평균 1000시간, 표준편차 60시간으로 알려져 있다. 이 공장에서 36개의 전구를 추출해 시험했을 때 평균 수명이 975시간 미만일 확률을 구하시오.

 

 

Answer)

전구 전체를 모집단으로 놓겠습니다. 모집단의 평균이 1000, 표준편차가 60으로 알려져 있다고 합니다. 자 여기서, 표본을 뽑지 않아도 알 수 있는 것이 있습니다. 세가지입니다.

1) 표본평균의 평균은 모평균이다.
2) 표본평균의 분산은 모분산/n이다.
3) n이 충분히 크다면 표본평균의 분포는 정규분포를 따른다. (중심극한정리인데 모르시는 분들은 손으로 푸는 통계 9강~14강을 들으시면 됩니다. )

n이 충분히 크다고 가정하면 표본평균의 분포는 아래와 같습니다. 

$\bar{X} \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n}   \right)$

표본의 크기를 정해봅시다. 크기 36인 표본을 뽑기로 마음을 먹었습니다. 아직 표본을 안뽑았지만 표본평균의 분포가 아래 분포를 따른다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 수학적으로 유도된 성질입니다. 표본을 뽑아보지 않아도 알 수 있습니다. 

$\bar{X} \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{36}   \right)$

표본을 뽑기 전에 우리는 표본평균의 분포를 이미 얻었습니다. 

크기가 36인 표본을 하나 뽑아서 평균을 구하면, 위 그래프의 x축 상에 놓이게 됩니다. 크기가 36인 표본을 뽑고 평균을 구했더니 975시간 이상일 확률은 아래 색칠한 넓이입니다. 표준정규분포로 바꿔서 계산해주시면 됩니다.