[통계 Q&A] 표본표준편차와 표본평균의 표준편차는 다른것인가?

 

 

Q) 표본표준편차와 표본평균의 표준편차는 다른것인가?

 

A) 네 다릅니다. 

모집단에서 표본을 뽑는 상황을 가정해봅시다. 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$인 모집단에서 표본을 뽑았습니다. 이 표본을 표본 1이라고 합시다. 표본의 원소는 (1,2,3) 이 뽑혔습니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

표본표준편차

표본1의 평균을 구해보면 아래와 같습니다. 

 

$E[X_{1}]=\frac{1+2+3}{3}=2$

 

표본1의 분산은 아래와 같이 구합니다. 분산은 표본 원소의 제곱의 평균 빼기 평균의 제곱을 계산하면 됩니다. 

 

$V[X_{1}]=\frac{1+4+9}{3}-2^2=\frac{2}{3}$

 

표본1의 표준편차는 분산에 루트를 씌워서 구하면 됩니다. 

 

$\sigma[X_{1}]=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

 

방금 구한 값이 표본의 표준편차입니다. 

 

표본평균의 표준편차

표본을 더 많이 뽑아봅시다. 표본2, 표본3, ..., 표본 k 까지 뽑았습니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

각 표본의 평균을 구하면 아래와 같습니다. 

 

표본 1의 평균 : $E[X_{1}]$

표본 2의 평균 : $E[X_{2}]$

...

표본 k의 평균 : $E[X_{k}]$

 

이 평균들의 평균을 구할 수 있습니다. 표본을 무한이 많이 뽑았다고 가정하면 표본평균들의 평균은 모평균인 $\mu$와 같아집니다. 표본평균들을 가지고 분산도 구할 수 있습니다. 표본을 무한히 많이 뽑았다고 가정하면 표본평균들의 분산은 모분산을 표본크기로 나눈 값인 $\frac{\sigma^2}{n}$과 같아집니다. 이 값이 루트를 씌우면 표본평균의 표준편차가 됩니다.