[손으로 푸는 통계 ver1.0] 30. 특성함수를 이용한 두 확률변수 차의 분포함수 유도 (1) 특성함수란?

 

 

지난시간까지 2표본 z검정의 원리를 알아보았습니다. 2표본 z검정을 하기 위해, 정규분포를 따르는 두 확률변수의 차의 분포를 유도해야합니다. 두 확률변수는 아래와 같습니다. 

 

 

두 확률변수의 차는 아래와 같습니다.

 

 

Y의 분포를 유도해야하는데요. 특성함수를 이용하여 유도하겠습니다. 특성함수는 확률밀도함수에 '퓨리에 변환'을 적용한 함수입니다. 

퓨리에변환은 아래와 같습니다. 

 

퓨리에 변환은 시간에 대한 함수를 주파수성분으로 분해해주는 역할을 하는데요. 공대생 분들은 '공업수학'에서 보셨을겁니다. 퓨리에 변환을 통계학의 확률밀도함수 f(x)에 적용했더니 재밌는 일이 벌어졌습니다.

익숙한 모양입니다. 기댓값을 구하는 수식이 됩니다. 따라서 아래와 같은 의미를 갖습니다. 

 

통계학에서 특별하게 사용될 함수이므로, 함수의 기호도 바꿔줍시다. Φ 는 그리스어 인데 Phi(fi) 라고 읽습니다. 파이라고도 부르는데, f발음 제대로 안하면 π 이거랑 구분이 안되니까. π 는 파이로, Φ 는 피(fi) 라고 읽겠습니다. t자리에는 -t를 넣겠습니다. 

 

 

특성함수를 t로 미분해봅시다. 

 

t에 0을 넣겠습니다. 

 

x의 평균을 구할 수 있습니다. 이와 같은 방법으로 적률을 구할 수 있게 됩니다. 적률생성함수에서 적률을 구했던 것과 원리가 같습니다. (구글링을 하다 보니 특성함수는 항상 존재하지만, 적률생성함수는 그렇지 않다는 내용을 보게 되었습니다. 이 부분은 공부해서 나중에 다루도록 하겠습니다.)

특성함수의 t자리에 -ti를 넣으면 적률생성함수가 됩니다. 

이제 우리는 두 모집단 표본평균 분포함수들의 특성함수를 구해야합니다. 표본평균 분포함수는 정규분포를 따르므로 정규분포의 특성함수를 구해야 합니다. 다음시간에는 정규분포의 특성함수를 구해보겠습니다.