[손으로 푸는 통계 ver1.0] 32. 특성함수를 이용한 두 확률변수 차의 분포함수 유도 (3) 유도

 

 

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우리는 2표본 z검정을 공부하고 있습니다. 2표본 z검정은 두 모집단의 평균을 비교하는 검정방법입니다. 두 모집단의 평균을 구할 수 없기 때문에, 각각 표본을 뽑았습니다. 표본의 크기 n이 충분히 크다과 가정하고 중심극한정리를 적용하면 두 모집단의 표본평균의 분포가 정규분포를 따른다고 할 수 있습니다. 

 

따라서 두 모집단의 표본평균의 분포는 아래와 같았습니다. 표본의 크기가 다를 수 있으니 n_A과 n_B로 구분하였습니다. 

 

문제는 표본평균의 분포함수에 모집단의 평균이 들어가 있다는 것입니다. 모집단의 평균을 소거하기 위해 표본평균의 차를 Y로 놓고 Y의 분포를 구하기로 했습니다. 

이때 특성함수가 사용됩니다. 두 표본평균의 분포에 지난시간에 배운 정규분포의 특성함수를 적용하면 아래와 같습니다. 

 

 

우리가 구해아하는것은 Y의 특성함수입니다. 

 

Y는 두 표본평균의 차이므로, 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

두 확률변수가 독립이라고 가정하면, 아래와 같이 둘로 나눌 수 있습니다. 두 집단이 독립이라고 가정했기 때문에 우리가 공부하는 2표본 Z검정은 독립표본 Z검정이 됩니다. 

 

마지막항을 아래와 같이 변형합시다. 

모집단 B의 표본평균들에 -를 곱한 것입니다. 따라서 평균은 부호가 반대가 되지만, 분산은 그대로 유지됩니다. 두 표본평균의 특성함수를 대입하면 아래와 같습니다. 

계산합시다. 

따라서 Y의 분포는 아래와 같습니다 

 

두 모집단의 평균이 같다는 귀무가설을 세우면, 평균의 차는 0이 됩니다.

 

따라서 모집단의 분산을 알고 있다면, 두 표변평균의 차의 분포를 정의할 수 있습니다.