[손으로 푸는 통계] 26. 1표본 Z검정 예제

1표본 Z검정 예제를 하나 풀어봅시다. A회사 K젤리라는 예제입니다. 

A제과회사에서는 K젤리라는 인기상품을 팔고 있습니다. A회사는 K젤리 무게의 평균과 표준편차를 아래와 같다고 주장하고 있습니다. 

$75g \pm 5g$

A회사의 경쟁사인 B사에서는 A사가 K젤리의 무게를 부풀렸다고 생각합니다. B회사에서는 이를 통계적으로 입증하기 위해 K젤리 100개를 구매했습니다. 모집단에서 크기가 100인 표본을 뽑은 것입니다. 포장을 뜯어 100개의 K젤리 무게의 표본평균과 표본표준편차를 계산했더니 아래와 같았습니다. 

$\bar{X}_{1}=68.5$
$\sigma{1}=2$

귀무가설과 대립가설을 세워봅시다. 귀무가설은 K젤리의 무게 평균이 70g 이라는 것입니다. 대립가설은 우리의 주장이 담긴 것으로 '70g보다 작다'가 대립가설입니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

$H_{0} \ : E[\bar{X}]=70$
$H_{1} \ : E[\bar{X}]<70$

단측검정입니다. 표본의 개수가 충분히 크므로 표본평균의 분포는 정규분포를 가정할 수 있습니다. 중심극한정리에 의해 표본평균은 아래와 같은 분포를 따릅니다. 

$\bar{X} \sim N \left ( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right )$

귀무가설이 참이라면 아래 분포가 됩니다. 

$\bar{X} \sim N \left ( 70, 0.5^2 \right )$

우리가 뽑은 표본평균인 68.5는 평균인 70에서 왼쪽으로 1.5만큼 떨어져 있습니다. 표준편차의 3배만큼 떨어져 있는 것입니다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

표준정규분포로 표준화하고 그림으로 그려보면 아래와 같습니다. 

표준정규분포 함수를 적분하여 위 그림에 표시된 넓이를 표현하면 아래와 같습니다 .

$\int_{-\infty}^{-3}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

표준정규분포가 대칭이라는 성질을 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$\int_{-\infty}^{-3}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz=0.5-\int_{0}^{3}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$

우변의 두번째 항은 표준정규분포표로 구할 수 있습니다. 0.4987입니다. 우변을 계산하면 0.0013입니다. 유의수준인 0.05보다 작으므로 귀무가설이 기각됩니다. 따라서 A회사가 허위기재했다고 주장할 수 있습니다. 

 

 

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