[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (4) 분산

 

 

(4) 분산

 

이산확률변수 X의 분산은 아래와 같이 구합니다. 

 

 

초기하분포의 평균을 대입하면 아래와 같습니다.

 

 

확률변수의 제곱의 평균을 시그마 형태로 바꾸면 아래와 같습니다. 

 

이항분포의 확률분포는 아래와 같습니다. 

 

 

분산을 구하던 식에 대입합시다. 

 

 

 

아래와 같이 조합을 전개합시다. x에 0을 넣어주면 항이 0이 되므로, 1로 바꿔줘도 결과가 동일합니다. 

 

 

약분하고 k를 꺼냅시다. 

 

 

약분하고 k를 꺼냅시다. 평균을 유도할 때 사용했던 아래 원리를 이용하여 변형합시다. 

 

 

아래와 같이 변형됩니다. 

 

n과 M을 밖으로 꺼냅시다. 

 

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

 

첫번째 팩토리얼 식을 조합 식으로 바꿔줍시다. 

 

 

x-1을 y로 치환합니다. 

 

 

y+1을 전개합니다. 

 

위 식의 빨간 부분은 모집단이 M-1, 모집단에 우리가 원하는 원소가 k-1개, 표본의 크기가 n-1개, 표본 안에 우리가 원하는 원소가 y개인 초기하분포의 평균이고, 파란 부분은 앞과 동일한 초기하분포의 총합입니다. 따라서 아래와 같이 계산됩니다. 

 

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

 

괄호 안을 통분합시다. 

 

 

괄호 안의 분자를 전개합시다. 

 

 

괄호 안의 분자를 계산해줍니다. 

 

 

괄호안의 분자를 인수분해합시다. 

 

 

아래와 같이 정리합시다.