[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (3) 평균

 

 

(3) 평균

 

이산확률변수 X의 평균은 아래와 같이 구합니다. 

 

 

초기하분포의 확률분포는 아래와 같습니다 .

 

 

따라서 초기하분포의 평균은 아래와 같습니다. 

 

 

아래와 같이 전개합시다.

 

 

x를 약분하고, k를 하나 꺼냅시다. x에 0을 넣으면 항이 0이므로, x를 1부터 시작해도 됩니다. 

 

 

$MCN_{M}C_{n}$ 을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

 

평균을 계산하던 식에 대입합시다. 

 

 

팩토리얼 식은 아래와 같이 조합으로 쓸 수 있습니다. 

 

 

M과 n을 밖으로 꺼냅시다. 

 

 

x-1를 y로 치환합시다. 

 

 

위 식의 시그마 부분은 모집단의 크기가 M-1, 모집단 안에 우리가 원하는 원소가 k-1개, 표본의 크기 n-1개, 표본 안에 우리가 원하는 원소 y개인 초기하분포의 값의 합입니다. 따라서 1이 됩니다. 

 

 

평균은 구했습니다. 이번에는 의미를 생각해봅시다. 모양을 아래와 같이 바꿔봅시다. 

 

 

k/M은 모집단에서 우리가 원하는 원소를 뽑을 확률입니다. n은 표본의 크기인데, 뽑힌 원소 하나하나를 사건으로 본다면 사건 발생 횟수로 생각할 수 있습니다. 따라서 이항분포의 np와 의미가 같아집니다. 

 

이항분포는 매 사건이 독립입니다. 표본추출의 관점으로 본다면 복원추출입니다. 그런데 초기하분포는 비복원추출입니다. 로또를 생각해보시면 됩니다. 번호를 뽑고 다시 넣지 않습니다. 한번 뽑힌 번호는 꺼내놓기 때때문에 다시 뽑히지 않아요. 

 

복원추출과 비복원추출 여부와 상관없이 평균은 (시행횟수)x(발생확률)이 된다는 것을 알 수 있습니다. 왜그럴까요? 다음 강의에서 분산까지 구하고 나서, 이항분포와의 관계를 통해 이해해봅시다.