[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (2) 유도

 

 

(2) 유도

모집단의 크기는 M입니다. 모집단 안에는 우리가 원하는 원소가 k개 있습니다. 모집단에서 크기가 n인 표본을 뽑는 경우의 수는 아래와 같습니다. 

 

$_{M}C_{n}$

 

우리가 뽑은 크기 n인 표본 안에 우리가 원하는 원소 x개가 들어 있을 경우의 수를 구해봅시다. 모집단에 있는 k개 중에서 x개가 뽑혀야 합니다. 총 n개가 뽑혀야 하므로, 나머지는 모집단에 있는 우리가 원하지 않는 것의 수 즉 M-k개 중에서 n-x개가 뽑히면 됩니다. 조합식으로 표현하며 아래와 같습니다. 

 

$_{k}C_{x}\cdot _{M-k}C_{n-x}$

 

이산확률분포는 우리가 원하는 원소가 k개 들어 있는 크기가 M인 모집단에서 표본 n개를 뽑을 때, 우리가 원하는 원소가 x개 들어있을 확률분포입니다. 따라서 아래 확률은 아래와 같이 정의됩니다. 

(우리가 뽑은 크기 n인 표본 안에 우리가 원하는 원소가 x개 들어 있을 경우의 수) / (크기 M인 표본에서 크기 n인 표본을 뽑는 경우의 수)

따라서 확률은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$p(x)=\frac{_{k}C_{x}\cdot _{M-k}C_{n-x}}{_{M}C_{n}}$