[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (6) 이름에 '초기하'가 붙은 이유

 

(6) 이름의 유래이름에 '초기하'가 붙은 이유 

 

초기하분포라는 이름이 어떻게 붙여졌는지 알기 위해서는 시간을 거슬러 올라가야합니다. 초기하분포는 초기하함수로부터 이름이 붙여졌고, 초기하함수는 다시 기하급수로 부터 유리된 이름입니다. 기하급수는 기하수열의 합입니다. 기하수열은 우리가 잘 아는 '등비수열'입니다. 따라서 유래의 순서는 아래와 같습니다. 

 

기하(등비)수열 → 기하(등비)급수 → 초기하함수 → 초기하분포

 

기하수열을 하나 정의합시다. 공비를 r이라고 하겠습니다. 

 

이 기하수열의 합이 기하급수입니다. 

 

 

만약 r이 -1보다 크고 1보다 작고, n이 무한대로 갈 때 아래의 값으로 수렴합니다. 

 

 

이 기하급수와 초기하함수와는 어떤 관계가 있을까요? 

초기하함수는 여러 특수한 함수들을 포함하는 함수입니다. 어떤 변수를 특정거나 극한으로 보내면 특수한 함수가 되는 그런 함수입니다. 비유를 하자면 타원,원,쌍곡선,포물선을 전푸 포함하는 2차함수의 일반형과 비슷합니다. 

 

 

A,B,C,D,E 의 조건에 따라 원이 되기도 하고, 쌍곡선이 되기도 하고, 다른 이차곡선이 되기도 하는 것과 같습니다.

가우시안 초기하함수라고 불리는 초기하 함수는 아래와 같습니다. 

 

(출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function )

 

위 식은 가장 많이 쓰이는 버전입니다. 더 일반적인 형태는 아래와 같습니다. 

 

(출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_hypergeometric_function)

 

이 일반화 버전에서 p에 1을, q에 0을 넣어봅시다. q가 0이라는 것은 b가 없다는 의미입니다. 

 

 

위에서 부터 계속 등장하는 $a_{n}$ 의 의미를 알아봅시다. Pochhammer symbol이라 불리는 기호입니다. 

 

Pochhammer symbol을 설명하는 위키피디아에는 위 기호를 falling 으로 정의를 해놓았는데, 초기하함수를 설명한 위키피디아는 반대의 의미로 사용했습니다. 우리는 아래와 같이 rising으로 정의하겠습니다. 

 

 

만약 x가 1이라면 n!이 됩니다. 

 

 

이제 (1)번식 a1자리에 1을 대입합시다. 

 

 

공비가 z인 무한기하급수가 되었습니다. 초기하함수라는 이름이 붙기 전 이 함수 이름을 OO함수라고 합시다. 이 OO함수의 특수한 케이스가 기하급수라는 것을 알게 되었습니다. 이런 이유로 이 OO함수는 기하급수의 hyper 다. 기하급수를 넘어선다는 의미로 hypergeometric function 이라는 이름이 붙은 것입니다. 

그렇다면 초기하함수와 초기하분포는 어떤 관계가 있을까요? 

 

확률분포함수들 마다 고유한 '적률생성함수(MGF)' 와 '특성함수(CF)' 가 있습니다.초기하분포의 적률생성함수와 특성함수는 아래와 같습니다. (적률생성함수와 특성함수에 대한 내용은 링크 참고)

 

아래는 적률생성함수입니다.

 

 

아래는 특성함수입니다.

 

 

빨간 부분은 초기하함수입니다. 적률생성함수와 특성함수에 초기하함수가 사용되기 때문에 초기하분포라는 이름이 붙여진 것입니다. 

 

정리해봅시다. 

- 초기하분포에 '초기하'가 붙은 이유는 초기하분포의 적률생성함수와 특성함수에 초기하함수가 사용되기 때문이다. 
- 초기하함수에 '초기하'가 붙은 이유는 초기하함수가 '기하급수'를 포함하는 더 일반적 개념이기 때문이다. 
- 기하급수에 '기하'라는 이름이 붙은 이유는 링크 참고