[손으로 푸는 확률분포] 초기하분포 (8) 이항분포로의 근사

 

 

(8) 이항분포로의 근사

 

초기하분포에서 모집단의 크기를 무한대로 보낼겁니다. 모집단의 크기가 무한대로 가면, 모집단 안에 포함된 우리가 원하는 원소 k도 무한대로 갑니다. 

초기하분포의 분포함수는 아래와 같습니다. 

 

 

팩토리얼 형태로 나타냅시다. 

 

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

빨간 부분끼리 모읍시다. 

 

 

빨간 부분을 조합으로 표현합시다. 

 

 

아래와 같이 (M-x)!을 분모와 분자에 곱합니다. 

 

아래와 같이 자리를 바꿔줍니다. 

 

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

 

나머지 두 항은 아래와 같이 변형합니다. 

 

 

팩토리얼을 약분해줍니다. 

 

 

이제 M과 k를 무한대로 보냅시다. 

 

 

먼저 곱해진 인수의 개수를 알아야 합니다.  아래와 같이 구합니다. 

k-(k-x)=x
M-(M-x)=x
M-k-(M-k-(n-x))=n-x
M-x-(M-n)=n-x

이제 아래와 같이 전개하겠습니다. 무한대로가는 항인 M과 k에 대해 내림차순으로 전개할게요. 

 

최고차항으로 묶어주겠습니다. 

 

 

최고차항들을 아래와 같이 묶어줍시다. 

 

 

아래와 같이 변형합시다. (M-k)/M을 변형한 것입니다. 

 

 

모집단에서 우리가 원하는 원소가 뽑힐 확률을 p라고 놓겠습니다. k/M이 p가 됩니다. 

 

 

 

빨간 부분은 0으로 수렴합니다. 따라서 아래와 같은 극한값을 얻습니다. 

 

 

이항분포가 되었습니다. 초기하분포에서 모집단히 아주 크다면 이항분포로 근사가 가능합니다. 지난시간에 초기하분포가 비복원추출, 이항분포가 복원추출이라고 설명했습니다. 모집단이 아주 크면 비복원추출과 복원추출에서의 차이가 거의 없어진다는 의미로 이해할 수 있습니다.