[음이항분포 한눈에] 정의, 분포함수,평균,분산,첨도,왜도,적률생성함수,특성함수

음이항분포는 성공횟수(k), 실패횟수(r), 전체 시행횟수(n)에서 무엇을 변수로 놓고 무엇을 상수로 놓느냐에 따라 다양하게 정의됩니다. 형태는 f(변수,상수) 입니다. 

 

① f(n;r) : 실패가 r번 발생할 때까지 전체 발생횟수가 n회일 확률. 

② f(n;k) : 성공이 k번 발생할 때까지 전체 발생횟수가 n회일 확률.

③ f(r;n) : 전체 시행횟수가 n일 때까지, 실패횟수가 r회일 확률.

④ f(k;n) : 전체 시행횟수가 n회이 때까지, 성공이 k회일 확률. 

⑤ f(r;k) : 성공이 k번 발생할 때까지 실패횟수가 r회일 확률.

⑥ f(k;r) : 실패가 r번 발생할 때까지, 성공이 k회일 확률.

 

3,4번은 이항분포이므로 나머지만 남겨봅시다. 

 

① f(n;r) : 실패가 r번 발생할 때까지 전체 발생횟수가 n회일 확률. 

② f(n;k) : 성공이 k번 발생할 때까지 전체 발생횟수가 n회일 확률.

⑤ f(r;k) : 성공이 k번 발생할 때까지 실패횟수가 r회일 확률.

⑥ f(k;r) : 실패가 r번 발생할 때까지, 성공이 k회일 확률.

 

이 중 6번 정의에 대한 통계량들입니다. 

 

정의	성공확률을 p라고 했을 때, r번의 실패가 나오기까지 발생한 성공이 k번일 확률 p(X=k)의 분포
분포함수	$f(x;r,p)=\binom{x+r-1}{x}p^{x}(1-p)^{r}$
누적분포함수	$F(x;r,p)=\sum_{k=0}^{\left \lfloor x \right \rfloor}\binom{k+r-1}{k}p^{k}(1-p)^{r}$
평균	$\frac{pr}{1-p}$
분산	$\frac{pr}{\left ( 1-p \right )^{2}}$
왜도	$\frac{1+p}{\sqrt{pr}}$
첨도	$3+\frac{6}{r}+\frac{}{}\frac{\left ( 1-p \right )^{2}}{pr}$
적률생성함수	$\left ( \frac{1-p}{1-pe^{t}} \right )^{r} \quad (t<-\log p)$
특성함수	$\left ( \frac{1-p}{1-pe^{it}} \right )^{r} \quad (t \in  \mathbb{R})$

 

*시행의 결과가 오직 두가지 뿐인 시행을 '베르누이 시행'이라고 합니다. 시행의 두가지 결과를 보통 '성공' 과 '실패'라고 부릅니다.