[손으로 푸는 확률분포] 균등분포 (2) 평균과 분산

 

(2-1) 평균

 

확률변수 X가 균등분포를 따를 때, 확률밀도함수는 아래와 같다는 것을 지난시간에 유도했습니다. 

 

 

균등분포를 따르는 확률변수 X는 연속확률변수입니다. 연속확률변수의 평균은 아래와 같이 구합니다. 

균등분포함수에 적용해봅시다. 

적분은 어렵지 않습니다. 적분해봅시다. 

계산합시다. 

인수분해합시다. 

약분하면 아래와 같이 균등분포의 평균이 구해집니다. 

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(2-2) 분산

 

연속확률변수의 분산은 아래와 같이 구합니다. 

평균은 위에서 구해서 알고 있으므로, 확률변수의 제곱의 평균만 구하면 됩니다. 

 

위 식에 균등분포의 확률밀도함수를 대입합니다. 

적분은 어렵지 않습니다. 적분해봅시다. 

계산합시다. 

인수분해합시다. 

약분하면 아래와 같습니다. 

분산을 구하는 식에 넣어줍니다. 

맨 오른쪽 항을 계산해줍니다. 

통분합시다. 

계산합시다. 

인수분해하면 균등분포의 분산이 아래와 같이 구해집니다.