[확률과통계 기초] 3-10. P[X=x] 와 p(x)의 차이

확률변수 X의 확률질량함수의 정의는 아래와 같습니다. 

$P\left [ X=x_{i} \right ]=p_{i} \ \ (i=1,2,...,n)$

 

위 식의 좌변에서 P[  ] 는 대괄호 안의 사건이 발생할 확률을 나타냅니다. 좌변은 $X=x_{i}$ 일 확률이라는 뜻입니다. 예를 들어봅시다.

 

주사위를 한번 던질 때 나오는 눈의 값을 확률변수 X라고 한다면, X의 확률질량함수는 아래와 같습니다. 

 

$P\left [ X=x \right ]=\frac{1}{6} \ \ (x=1,2,...,6)$

 

위와 같은 표현을 더 간단히 나타낼 수 있습니다. 함수이름를 사용하는 것입니다. 함수 이름은 원하는 것을 사용하면 되는데 주로 p나 f를 사용합니다. 확률변수 X의 확률질량함수를 p(x)라고 한다면, p(x)의 의미는 'x에 대한 함수인데 함수 이름은 p다' 입니다. p(x)는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$p(x)=P\left [ X=x \right ]=\frac{1}{6}$

 

$P\left [ X=x \right ]$ 와 $p(x)$는 같은 함수를 의미합니다. 표현방식이 다를 뿐입니다. 

 

이번에는 확률변수를 하나 더 추가해봅시다. 동전을 한번 던질 때 앞면이 나오는 개수를 확률변수 Y라고 한다면 Y의 확률질량함수는 아래와 같습니다.

 

$P\left [ Y=y \right ]=\frac{1}{2} \ \ (x=0,1)$

 

이때 확률변수 y의 확률질량함수를 p(y)라고 이름 붙여도 될까요? 함수 이름이 같으면 같은 함수를 의미하므로 헷갈리지 않기 위해 구분해주는 것이 좋습니다. 이렇게 구분해주겠습니다. X의 확률질량함수는 $p_{X}(x)$로, Y의 확률질량함수는 $p_{Y}(y)$로 이름붙이면 구분이 잘 됩니다. 확률변수 Y의 확률질량함수 $p_{Y}(y)$는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$p_{Y}(y)=P\left [ Y=y \right ]=\frac{1}{2} \ \ (x=0,1)$