[손으로 푸는 확률분포] 다항분포 (4) 평균과 분산

 

 

(4) 평균과 분산 

 

다항분포의 기댓값은 각 사건별로 구하거나 사건의 합집합의 기댓값을 구할 수 있습니다. 예를 들어 어떤 시행에서 세가지 사건이 발생할 수 있다고 하겠습니다. 사건 A, 사건 B, 사건C 입니다. 한번의 시행에서 각 사건이 발생할 확률은 $P_{A}$, $P_{B}$, $P_{C}$ 라고 합시다. 

 

 n번의 시행에서 사건 A가 X번, 사건 B가 Y번, 사건 C가 Z번 발생할 확률은 아래와 같습니다. 

 

 

다항분포의 기댓값을 구해볼건데요. 우리는 각 사건의 기댓값을 구할 수 있고, 여러 사건들의 교집합 또는 합집합의 기댓값을 구할 수 있습니다. 

 

먼저 사건 A의 기댓값을 구해봅시다. 사건 A의 관점에서 보면, 어떤 시행의 결과는 사건 A가 발생하거나 사건 A가 발생하지 않거나의 두가지 입니다. 따라서 위 다항분포는 사건 A의 이항분포라고 해석될 수 있습니다. 이항분포의 평균과 분산은 이미 배웠고 결과는 아래와 같습니다. 

 

 

 

사건 B와 C의 평균과 분산도 같은 원리로 구해집니다. 

 

만약 사건 A와 B의 교집합의 기댓값은 구하고 싶다면 어떻게 해야할까요? A교집합 B라는 것은 사건 A와 B가 동시에 발생하는 것을 뜻합니다. 두 사건은 배반사건이기 때문에 동시에 발생할 수 없습니다. 따라서 교집합의 기댓값은 0이 됩니다.

 

 

이번에는 사건 A와 B의 합집합의 기댓값을 구해봅시다. 한번의 시행에서 사건 A또는 B가 발생할 확률은 Pa+Pb입니다. 사건 A∪B 의 관점에서 보면, 어떤 시행의 결과는 사건 A∪B 가 발생하거나, 발생하지 않거나 둘로 나뉩니다. 따라서 사건 A∪B의 이항분포로 해석될 수 있습니다. 확률변수는 X+Y가 됩니다. 사건 A가 발생한 횟수와, B가 발생한 횟수의 합입니다. 평균과 분산은 아래와 같습니다. 

 

$V(X\cup Y)=n(P_{A}+P_{B})(1-(P_{A}+P_{B}))$

 

변수가 늘어나고, 더 많은 사건의 합집합과 교집합을 계산하더라도 같은 원리가 적용됩니다.