[손으로 푸는 확률분포] 다항분포 (5) 독립변수의 개수

 

 

(5) 독립변수의 개수

 

시행의 결과가 A,B,C 세가지인 다항분포에서 독립변수의 개수는 몇개일까요? 세개라고 생각하시는 분들이 아마 계실거 같은데 정답은 2개입니다. 

 

시행의 결과가 두가지인 경우를 생각해봅시다. 시행의 결과는 A, B 두가지이고 n번에 시행에서 각각이 발생한 횟수를 x회와 y회라과 하겠습니다.   

 

 

x와 y가 둘 다 독립변수 같아 보이지만 사실 둘 중 하나만 독립변수입니다. x+y=n 이기 때문에 한 변수가 결정되면 다른 변수는 저절로 정해기디 때문입니다. 위 식에서 y=n-x로 바꿔봅시다. 두 확률의 합도 1이므로, 아래와 같이 변형됩니다. 

 

 

이항분포가 되었죠? 이항분포는 시행의 결과가 두가지인 다항분포입니다. '이항'이라는 말은 시행의 결과가 '두 가지'라는 뜻입니다. 시행의 결과가 '사건의 발생' '사건의 미발생'이라는 두가지인 것이죠. 

이런 이유로 두개의 독립변수를 가지려면, 시행의 결과는 세가지 사건인 다항분포여야 합니다. 시행의 결과가 세가지인 다항분포를 삼항분포라고 합니다. 시행의 결과를 A,B,C 세가지 사건이라고 놓겠습니다. 시행을 n번 했을 때 사건 A,B,C가 발생한 횟수를 x,y,z 번이라고 합시다. 이때, x+y+z=n입니다. 

 

 

z를 x와 y로 표현하면 z=n-x-y 입니다. 아래와 같이 변형하겠습니다. 

 

 

독립변수가 x,y 두가지인 분포함수가 되었습니다.