분산 구하는 두 가지 방법 (제곱의평균-평균의제곱 유도)

평균

아래와 같은 자료가 있다고 합시다. 

 

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$

 

이 자료를 변수 X로 나타낸다고 합시다.

 

$X=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{n} \right \}$

 

X의 평균은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$E[X]=\frac{x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}}{n}$

 

시그마 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$E[X]=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}$

 

편의상 변수 X의 평균을 $\mu$ 라고 놓겠습니다. 

 

$E[X]=\mu$

 

분산

변수 X의 분산은 아래와 같이 정의됩니다. 편차의 제곱의 평균입니다. 

 

$V[X]=E\left [ \left ( X-\mu  \right )^2 \right ]$

 

시그마 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$V[X]=\frac{ \sum_{i=1}^{n} \left ( x_{i}-\mu \right )^{2}   }{n}$

 

위와 같은 형태보다 변형된 형태를 더 많이 사용합니다. 위 식을 변형해봅시다. 

 

분산 변형식

위 식의 분자를 풀어서 써줍니다. 

 

$V[X]=\frac{ \left ( x_{1}-\mu \right )^{2}+\left ( x_{2}-\mu \right )^{2}+ \cdots + \left ( x_{n}-\mu \right )^{2}    }{n}$

 

분자를 전개해서 같은 차수의 항끼리 묶어주면 아래와 같습니다. 

 

$V[X]=\frac{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots + x_{n}^{2}-2\mu\left ( x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \right )+n\mu^{2}   }{n}$

 

위 식을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍니다. 

 

$V[X]=\frac{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots + x_{n}^{2}}{n}
 -2\mu
\frac{\left ( x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \right )  }{n}
+
\frac{n\mu^{2}   }{n}$

 

두번 두번째 항의 세번째 인수는 평균과 같습니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$V[X]=\frac{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots + x_{n}^{2}}{n}
 -2\mu^{2}
+
\frac{n\mu^{2}   }{n}$

 

우변의 세번째 항을 약분해줍니다. 

 

$V[X]=\frac{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots + x_{n}^{2}}{n}
 -2\mu^{2}
+
\mu^{2}$

 

우변의 두번째 항과 세번째 항을 계산해줍니다. 

 

$V[X]=\frac{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots + x_{n}^{2}}{n}-\mu^{2}$

 

우변의 첫 항은 변수 X의 제곱의 평균입니다. 두번째 항은 평균의 제곱입니다. 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다. 

 

$V(X)=E\left [ X^{2} \right ]-\left ( E\left [ X \right ] \right )^{2}$