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@ 통계 교양/통계 Tips

분산 구하는 두 가지 방법 (제곱의평균-평균의제곱 유도)

by bigpicture 2022. 4. 27.
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평균

아래와 같은 자료가 있다고 합시다. 

 

x1,x2,...,xn

 

이 자료를 변수 X로 나타낸다고 합시다.

 

X={x1,x2,...,xn}

 

X의 평균은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

E[X]=x1+x2++xnn

 

시그마 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

E[X]=x1+x2++xnn=ni=1xin

 

편의상 변수 X의 평균을 μ 라고 놓겠습니다. 

 

E[X]=μ

 

분산

변수 X의 분산은 아래와 같이 정의됩니다. 편차의 제곱의 평균입니다. 

 

V[X]=E[(Xμ)2]

 

시그마 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

V[X]=ni=1(xiμ)2n

 

위와 같은 형태보다 변형된 형태를 더 많이 사용합니다. 위 식을 변형해봅시다. 

 

분산 변형식

위 식의 분자를 풀어서 써줍니다. 

 

V[X]=(x1μ)2+(x2μ)2++(xnμ)2n

 

분자를 전개해서 같은 차수의 항끼리 묶어주면 아래와 같습니다. 

 

V[X]=x21+x22++x2n2μ(x1+x2++xn)+nμ2n

 

위 식을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍니다. 

 

V[X]=x21+x22++x2nn2μ(x1+x2++xn)n+nμ2n

 

두번 두번째 항의 세번째 인수는 평균과 같습니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

 

V[X]=x21+x22++x2nn2μ2+nμ2n

 

우변의 세번째 항을 약분해줍니다. 

 

V[X]=x21+x22++x2nn2μ2+μ2

 

우변의 두번째 항과 세번째 항을 계산해줍니다. 

 

V[X]=x21+x22++x2nnμ2

 

우변의 첫 항은 변수 X의 제곱의 평균입니다. 두번째 항은 평균의 제곱입니다. 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다. 

 

V(X)=E[X2](E[X])2

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