평균
아래와 같은 자료가 있다고 합시다.
x1,x2,...,xn
이 자료를 변수 X로 나타낸다고 합시다.
X={x1,x2,...,xn}
X의 평균은 아래와 같이 정의됩니다.
E[X]=x1+x2+⋯+xnn
시그마 기호로 나타내면 아래와 같습니다.
E[X]=x1+x2+⋯+xnn=∑ni=1xin
편의상 변수 X의 평균을 μ 라고 놓겠습니다.
E[X]=μ
분산
변수 X의 분산은 아래와 같이 정의됩니다. 편차의 제곱의 평균입니다.
V[X]=E[(X−μ)2]
시그마 형태로 나타내면 아래와 같습니다.
V[X]=∑ni=1(xi−μ)2n
위와 같은 형태보다 변형된 형태를 더 많이 사용합니다. 위 식을 변형해봅시다.
분산 변형식
위 식의 분자를 풀어서 써줍니다.
V[X]=(x1−μ)2+(x2−μ)2+⋯+(xn−μ)2n
분자를 전개해서 같은 차수의 항끼리 묶어주면 아래와 같습니다.
V[X]=x21+x22+⋯+x2n−2μ(x1+x2+⋯+xn)+nμ2n
위 식을 아래와 같이 세개의 식으로 분리해줍니다.
V[X]=x21+x22+⋯+x2nn−2μ(x1+x2+⋯+xn)n+nμ2n
두번 두번째 항의 세번째 인수는 평균과 같습니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다.
V[X]=x21+x22+⋯+x2nn−2μ2+nμ2n
우변의 세번째 항을 약분해줍니다.
V[X]=x21+x22+⋯+x2nn−2μ2+μ2
우변의 두번째 항과 세번째 항을 계산해줍니다.
V[X]=x21+x22+⋯+x2nn−μ2
우변의 첫 항은 변수 X의 제곱의 평균입니다. 두번째 항은 평균의 제곱입니다. 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.
V(X)=E[X2]−(E[X])2
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bigpicture님의
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