정규분포를 따르는 확률변수의 합의 분포

정규분포를 따르는 확률변수 X와 Y가 있다고 합시다. 각 확률변수의 분포는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$X \sim N\left (\mu_{X},\sigma_{X}^2  \right )$

 

$Y \sim N\left (\mu_{Y},\sigma_{Y}^2  \right )$

 

두 확률변수 X와 Y가 서로 독립이라고 가정하겠습니다. 우리가 굼금한 것은 X+Y의 분포입니다. X+Y의 분포는 특성함수를 이용해서 유도할 것입니다. 확률변수 X와 Y의 특성함수를 먼저 구해보면 아래와 같습니다. 

 

$\varphi_{X}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]=e^{it\mu_{X}-\frac{\sigma_{X}^2t^2}{2}}$

 

$\varphi_{Y}(t)=E\left [ e^{itY} \right ]=e^{it\mu_{Y}-\frac{\sigma_{Y}^2t^2}{2}}$

 

확률변수 X+Y의 특성함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$\varphi_{X+Y}(t)=E\left [ e^{it(X+Y)} \right ]$

 

우변 대괄호 안의 식을 아래와 같이 둘로 나눠서 쓸 수 있습니다. 

 

$\varphi_{X+Y}(t)=E\left [ e^{itX}e^{itY}  \right ]$

 

두 변수 X와 Y가 서로 독립이므로 기댓값을 아래와 같이 분리할 수 있습니다. 

 

$\varphi_{X+Y}(t)=E\left [ e^{itX} \right ]E\left [ e^{itY} \right ]$

 

위 식 우변의 각 항은 확률변수 X와 Y의 특성함수입니다. 위에서 구한 확률변수 X와 Y의 특성함수 수식을 대입합니다. 

 

$\varphi_{X+Y}(t)=e^{it\mu_{X}-\frac{\sigma_{X}^2t^2}{2}}e^{it\mu_{Y}-\frac{\sigma_{Y}^2t^2}{2}}$

 

우변을 아래와 같이 계산합니다. 

 

$\varphi_{X+Y}(t)=e^{it \left ( \mu_{X}+\mu_{Y} \right )-\frac{\left ( \sigma_{X}^2+\sigma_{Y }^2 \right )t^2}{2}}$

 

위 식 우변의 특성함수는 평균이 $\mu_{X}+\mu_{Y}$이고 분산이 $\sigma_{X}^2+\sigma_{Y }^2$ 인 정규분포의 특성함수입니다. 따라서 확률변수 X+Y의 확률분포는 아래와 같습니다. 

 

$X+Y \sim N\left (  \mu_{X}+\mu_{Y},\sigma_{X}^2+\sigma_{Y }^2 \right )$

 

일반화 시켜 봅시다. 정규분포를 따르는 확률변수가 n개 있다고 합시다. 이 확률변수들의 합의 분포는 아래와 같습니다.

 

$\sum_{i=1}^{n}X_{i} \sim N\left (  \sum_{i=1}^{n}\mu_{X_{i}},\sum_{i=1}^{n}\sigma_{X_{i}}^2 \right )$