표본의 크기 결정 방법 수식 설명 및 유도

1. 설명

표본의 크기를 결정하는 수식은 아래와 같습니다. 

\frac{Z^2\sigma^2}{e^2}

Z는 신뢰수준에 따라 결정되는 값입니다. 신뢰수준이 95%라면 1.96, 99%라면 2.58이 됩니다. e는 허용오차입니다. $\sigma$ 는 모표준편차입니다. 

허용 오차는 상황에 맞게 각자 정해야합니다. 나는 오차를 얼마까지 허용할 것이라고 결정하고, 표본 크기를 정하는 것입니다. 

 

 

2. 유도

허용오차를 고렿나 표본 크기는 모평균을 추정하는 신뢰구간 수식에서 유도할 수 있습니다. 95% 신뢰구간을 이용하여 유도해보겠습니다. 95% 신뢰구간은 아래와 같습니다. 

$\bar{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

위 식은 아래와 같이 나타낼 수도 있습니다.

 $\left |  \bar{X}-\mu \right | \leq 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

이때 $\left |  \bar{X}-\mu \right |$ 는 모집단과 표본평균의 차이이므로, 오차라고 해석할 수 있습니다. e라고 놓겠습니다. 95% 신뢰구간에서 오차의 최댓값이 우변이므로, 허용오차는 아래와 같습니다. 

$e=1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

1.96은 신뢰도를 얼마로 두느냐에 따라 달라집니다. 1.96 대신 Z로 놓아줍니다. 

$e=Z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

위 수식을 n에 대해서 정리하면 아래와 같습니다. 

$\frac{Z^2\sigma^2}{e^2}$