이산 vs 연속확률변수 (3) 확률 밀도가 등장한 맥락

연속확률변수는 실수 구간에서 정의된 확률변수입니다. 아래 구간에서 임의로 하나의 실수 값을 출력해주는 기계를 만들었다고 합시다. 

$0 \leq X \leq 3$

각 숫자가 나올 확률은 동일하다고 합시다. 이때 숫자들이 각각 발생할 확률을 갖는다면 확률 전체의 합이 1이 될 수 없습니다. 확률 전체의 합이 무한대가 됩니다. 따라서 각 숫자들은 확률을 가질 수 없습니다. 대신 범위는 확률을 가질 수 있습니다. 예를들어 $0 \leq X \leq 1$ 은 전체 영역의 1/3이므로, 발생 확률이 1/3입니다. 기호로 나타내면 아래와 같습니다. 

$P[0 \leq X \leq 1]=\frac{1}{3}$

이때 누적적분포함수는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

$P[0 \leq X \leq x]=\frac{1}{3}x$

 

위 확률변수의 누적분포 함수를 F(x) 라고 놓겠습니다. 

 

$P[0 \leq X \leq x]=F(x)=\frac{1}{3}x$

 

연속확률변수의 누적분포함수에서는 미분을 적용할 수가 있습니다. 미분가능의 조건은 '연속'입니다. 따라서 이산확률변수에서는 미분이 불가능하지만 연속확률변수에서는 미분이 가능합니다. 연속확률변수의 누적분포함수를 한번 미분해 봅시다. 

 

$F'(x)=\frac{1}{3}$

 

이 함수는 어떤 의미를 가질까요? 위 함수를 일단 $f(x)$ 라고 놓고 아래 적분의 의미를 생각해봅시다. 

 

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

 

위 적분은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

 

F(b)와 F(a) 는 각각 아래와 같습니다. 

 

$F(b)=P[0 \leq X \leq b]$

$F(a)=P[0 \leq X \leq a]$

 

따라서 $F(b)-F(a)$ 는 $P[a \leq X \leq b]$ 입니다. 우리가 유도하던 식에 대입합시다. 

 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=P[a \leq X \leq b]$

 

확률밀도함수를 어떤 구간에 대해 적분하면 해당 구간에서 사건이 발생할 확률값을 구해줍니다. 확률밀도함수를 두가지로 이해할 수 있습니다. 

 

1) 연속확률변수의 누적분포함수를 미분한 함수

2) 어떤 구간에 대해 적분한 결과가 해당 구간에서 사건이 발생할 확률이 되는 함수

 

 

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