이산 vs 연속확률변수 (2) 원소 개수

 

 

지난시간에 다룬 이산확률변수와 연속확률변수는 정의는 아래와 같습니다. 

 

이산확률변수 : 원소나열법으로 나타낼 수 있는 확률변수

연속확률변수 : 실수 구간으로 정의되는 확률변수

 

오늘은 이산확률변수와 연속확률변수의 원소 개수 이야기를 해보려고 합니다. 연속확률변수의 원소 개수는 무한합니다. 어느 두 실수를 잡더라도 그 사이 실수를 정의할 수 있습니다. 따라서 실수 구간으로 정의된 연속확률변수의 원소수는 항상 무한합니다. 

 

이산확률변수의 원소개수를 알아봅시다. 동전을 던져서 앞면이 나온 횟수, 주사위를 던져서 나온 눈의 값 등이 이산확률변수입니다. 이들은 원소 개수가 유한합니다. 이산확률변수의 원소 개수는 항상 유한할까요? 

 

어떤 이산 확률변수가 자연수 전체 집합이고 각 원소에 대응되는 확률이 아래와 같다고 합시다.

$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots$

원소의 개수는 무한합니다. 하지만 합은 무한하지 않습니다. 위 확률의 합은 1입니다. 따라서 확률질량함수가 아래와 같이 정의됩니다. 

$p(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

이와 같이 이산확률변수도 원소가 무한히 많을 수 있습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 

 

이산확률변수 : 원소 개수가 유한할 수도 있고 무한할 수도 있음

연속확률변수: 원소 개수가 무한함