중심극한정리가 헷갈리시는 분들을 위한 극단적인 예시

 

 

중심극한정리는 아래와 같은 정리입니다. 

"모집단의 분포와 상관 없이 표본의 크기가 커지면 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워져 간다."

표본의 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포를 정규분포로 근사시킬 수 있다는 것입니다. 충분히 큰 표본의 크기를 보통 30으로 놓습니다. 

중심극한정리를 헷갈려하시는 분들이 많아서 아주 극단적인 상황을 통해 설명을 하려고 합니다. 일부러 극단적인 상황을 선택했습니다. 극단적인 상황의 예시가 제대로 이해하지 못한 분들에게 리트머스 종이가 될 수 있기 때문입니다. 이게 된다고? 라는 생각이 드시는 분들은 중심극한정리를 제대로 이해하지 못하고 계셨던 것입니다. 이번 기회에 제대로 이해해 봅시다. 

아래와 같은 모집단이 있다고 합시다. 

모집단 = {1}

원소가 1 하나뿐인 모집단입니다. 이 모집단에서 표본을 뽑고 평균을 구하면 1입니다. 복원추출로 크기가 아주 큰 표본을 뽑더라도 표본평균은 항상 1입니다. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. n은 표본의 크기입니다. 

 

 

모집단의 원소가 1개 뿐이라면 중심극한정리는 성립하지 않습니다. 혹은 아래와 같이 모든 원소의 값이 같아도 중심극한정리는 성립하지 않습니다. 

모집단= {1, 1, 1 1, 1}

이번에는 모집단의 원소를 하나 더 늘려봅시다. 

모집단 = {1,2}

복원추출로 크기가 10,30,100인 표본평균의 분포를 그려보면 아래와 같습니다. 

n이 커질 수록 정규분포에 가까워집니다. 모집단이 1,2 두개의 원소였습니다. 이런 극단적인 모집단에서도 중심극한정리는 성립합니다. 

 

모집단을 비대칭으로 만들어봅시다. 

 

모집단 = {1,2,3,3,3,3}

 

그래프를 그려보겠습니다. 

 

 n이 작은 경우 분포가 비대칭이 되는 경향이 있지만 n이 커지면서 정규분포에 가까워져갑니다. 

 

모집단이 뭐든 상관없습니다. 상자에 1이 적힌공 하나, 2가 적힌공 하나만 들어있는 모집단에서도 중심극한정리는 성립합니다. 

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아래는 그래프를 그린데 사용한 R 코드입니다. 

 

library(dplyr)

ppltn=c(1,2)

dt=list()

par(mfrow=c(1,3))

for (j in c(10,30,100)){
  for (i in 1:10000){
    dt[[i]]=sample(ppltn,j,replace=TRUE) %>% mean
  }
  unlist(dt) %>% hist(main=paste0("n=",j),prob=T)
  lines(density(unlist(dt)))
}