이산 vs 연속확률변수 (1) 구별 방법

 

 

이산확률변수와 연속확률변수를 구별해보라고 물어보면 애매하게 대답하는 경우가 있습니다. 

 

"이산확률변수는 서로 떨어져 있는 변수고, 연속확률변수는 연속적인 변수다."

 

아주 틀린 말은 아니지만 두 변수를 더 정확하게 구분하는 방법이 있습니다. 바로 '셀 수 있는가' 입니다. 

 

이산확률변수 : 셀 수 있는 확률변수

연속확률변수 : 셀 수 없는 확률변수

 

이산확률변수는 셀 수 있는 변수이고 연속확률변수는 셀 수 없는 변수입니다. 셀 수 있다와 없다를 '유한'과 '무한'으로 이해하시는 경우가 있습니다. 셀 수 있는지 여부는 유한과 무한을 이야기하는 것이 아닙니다. 셀 수 있다라는 것은 '번호를 붙여서 셀 수 있다'를 말합니다. 아래 집합을 봅시다. 

 

{1,2,3,4,5,....}

 

개수가 무한하지만 하나,둘,셋 번호를 붙여서 셀 수 있습니다. 따라서 위 집합은 셀 수 있는 집합입니다. 아래 집합을 봅시다. 

 

$\left \{ x \ |\ 3\leq x \leq 5  \right \}$

 

x는 실수라고 할 경우 위 집합은 셀 수 없습니다. 증명도 가능한데 여기서 하지는 않겠습니다. 수학과 과목인 실해석학 교제에 증명이 나옵니다.  그런데 연속확률변수를 '셀 수 없는 확률변수'라고 정의할 경우 한 가지 문제가 생깁니다. 무리수 구간으로 정의된 확률변수도 셀 수 없기 때문에 연속확률변수로 무리수 구간도 가능해집니다. 우리는 연속확률변수를 실수구간으로 정의해서 사용하기 때문에 정의를 아래와 같이 수정해주면 됩니다. 

 

이산확률변수 : 셀 수 있는 확률변수

연속확률변수 : 실수 구간으로 정의되는 확률변수

 

셀수 있다는 표현이 헷갈리신다면 아래와 같이 이해하셔도 됩니다. 

 

이산확률변수 : 원소나열법으로 나타낼 수 있는 확률변수

연속확률변수 : 실수 구간으로 정의되는 확률변수