기댓값이 무한대인 확률변수

어떤 확률변수의 기댓값이 무한대일 수 있을까요? 직관적으로 상상은 잘 되지 않지만 존재합니다. 

아래 확률분포를 봅시다. 

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2} & 1<x<\infty \\  0 & elsewhere \end{matrix}\right.$

주어진 구간에서 적분하면 1이 나옵니다. 확률분포 맞습니다. 

위 확률분포를 따르는 확률변수의 기댓값을 구해봅시다. 

$E[X]=\int_{1}^{\infty}x\frac{1}{x^2}dx=\lim_{a \rightarrow \infty}\int_{1}^{a}\frac{1}{x}dx=\lim_{a \rightarrow \infty}\left ( \ln a-\ln 1 \right )=\infty$

기댓값이 무한대로 발산합니다.