중심극한정리 유도하기 (요약버전)

중심극한정리 유도의 Full 버전은 아래 링크를 참고하세요. 9강~14강에 자세히 유도해 놓았습니다. 

 

https://hsm-edu.tistory.com/1193

[통계 기초 강의] 9. 중심극한정리란 무엇인가

 

이 글은 중심극한정리의 유도과정을 간단히 요약한 것입니다. 

 

중심극한정리는 모집단의 분포와 상관없이 표본의 크기가 충분히 크다면 표본평균들의 분포가 정규분포를 따른다는 정리입니다. 여기서 주의할 점은 표본의 개수가 아니라 표본의 '크기'라는 것입니다. 표본의 개수는 무한하다고 가정합니다. 크기가 n인 표본을 무한히 많이 뽑았을 때, 표본평균들을 가지고 확률분포를 그릴 수 있을 겁니다. 이때 n이 충분히 크면 확률 분포가 정규분포에 가까워진다는 정리가 중심극한정리입니다. 

 

중심극한정리를 유도하기 위해서 한가지 사전지식이 필요합니다. 

 

두 확률변수의 적률생성함수가 같다면, 같은 확률분포를 따른다. 

 

먼저 정규분포의 적률생성함수를 유도합니다. 아래와 같이 유도됩니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{
\mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2}
}$

 

이어서 n이 무한대로 갈 때의 표본평균의 적률생성함수를 유도합니다. 

 

$M_{X}(t)=E(e^{tx})=e^{
\mu t+\frac{ \sigma^2 t^2   }{2}
}$

 

둘이 모양이 같습니다. 따라서 n이 무한대로 갈 때 표본평균의 분포는 정규분포를 따릅니다.