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분산을 구하는 변형공식을 유도하는 과정은 아래와 같습니다.
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1(Xi−μ)2n
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2i−2Xiμ+μ2n
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2i−2μ∑ni=1Xi+∑ni=1μ2n
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2in+−2μ∑ni=1Xin+∑ni=1μ2n
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2in+−2μ2+μ2
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2in−μ2
만약 표본이라면 분모가 n-1일 것입니다.
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2i−2μ∑ni=1Xi+∑ni=1μ2n−1
아래와 같이 변형합시다.
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2i−2nμ2+nμ2n−1
분자를 계산합시다.
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2i−nμ2n−1
아래와 같이 변형합시다.
V(X)=E((X−μ)2)=∑ni=1X2in−1−nn−1μ2
분산을 구할 때 제곱의 평균 빼기 평균의 제곱이라는 식을 표본에 적용하면 안된다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 n이 충분히 크다면 결과가 별 차이 없을 테니 근사적으로 사용해도 문제는 없겠네요.
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