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@ 통계 교양/통계 Tips

분산 구하는 변형공식을 표본에도 적용할 수 있을까

by bigpicture 2021. 10. 18.
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분산을 구하는 변형공식을 유도하는 과정은 아래와 같습니다. 

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1(Xiμ)2n

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2i2Xiμ+μ2n

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2i2μni=1Xi+ni=1μ2n

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2in+2μni=1Xin+ni=1μ2n

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2in+2μ2+μ2

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2inμ2

 

만약 표본이라면 분모가 n-1일 것입니다. 

 

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2i2μni=1Xi+ni=1μ2n1

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2i2nμ2+nμ2n1

 

분자를 계산합시다. 

 

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2inμ2n1

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

V(X)=E((Xμ)2)=ni=1X2in1nn1μ2

 

분산을 구할 때 제곱의 평균 빼기 평균의 제곱이라는 식을 표본에 적용하면 안된다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 n이 충분히 크다면 결과가 별 차이 없을 테니 근사적으로 사용해도 문제는 없겠네요. 

 

 

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