코로나에서 양성이 나왔을 때, 실제 코로나에 걸렸을 확률

코로나 검사를 했는데 양성이 나왔습니다. 이때, 실제로 코로나에 걸렸을 확률을 구해봅시다. 어떤 방법으로 진단했는가에 따라 확률이 달라집니다. 각 진단방법과 민감도, 특이도를 정리한 표는 아래와 같습니다. 2,3,4열의 방법은 임시선별검사소에서 사용하는 방법이고 5,6,7열은 자가진단키트입니다. 참고로 국내 자가진단 키트 기준은 민감도 90%이상, 특이도 99% 이상이라고 하네요. 

 

민감도 : 병에 걸린 사람을 양성으로 판정할 확률
특이도 : 병에 걸리지 않은 사람을 음성으로 판정할 확률

 

검사방법	비인두도말 PCR법	신속항원검사법	타액PCR법	에스디바이오센서	휴마시스	래피젠
민감도	98%	90%	92%	82.5%	92.9%	93.15%
특이도	100%	96%	100%	100%	99%	100%

 

코로나 검사에서 양성이 나왔을 때, 코로나에 걸렸을 확률은 아래와 같은 조건부확률로 정의됩니다. 

 

P(코로나 걸림 | 양성 나옴) 

 

조건부 확률은 아래와 같이 계산됩니다. 양성인 사건을 PT, 코로나 걸린 사건을 C라고 놓았습니다. 

 

$P(C|PT)=\frac{P(C\cap PT)}{P(PT)}$

 

양성이 나올 확률은 코로나에 걸렸는데 양성이 나올 확률과, 코로나에 걸리지 않았는데 양성이 나올 확률로 나뉩니다.

 

양성이 나올 확률 = 코로나에 걸렸는데 양성이 나올 확률 + 코로나에 걸리지 않았는데 양성이 나올 확률

 

수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$P(PT)=P(C)P(PT|C)+P(C^{c})P(PT|C^{c})$

 

조건부확률의 정의를 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$P(PT)=P(C)P(PT|C)+P(C^{c})P(PT|C^{c})$

 

구하던 식에 대입합시다. 

 

$P(C|PT)=\frac{P(C\cap PT)}{P(C)P(PT|C)+P(C^{c})P(PT|C^{c})}$

 

분자는 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$P(C|PT)=\frac{P(C)P(PT|C)}{P(C)P(PT|C)+P(C^{c})P(PT|C^{c})}$

 

수식은 다 구했습니다. 

 

비인두도말 PCR법을 사용하였을 경우의 확률을 구해봅시다. 

 

$P(C|PT)=\frac{P(C)\times 0.98}{P(C) \times 0.98+P(C^{c})\times 0}=1$

 

따라서 비인두도말 PCR법을 사용하여 코로나 검사를 했고 양성이 나왔다면, 코로나에 걸렸을 확률은 100%입니다. 위 수식에서 알 수 있듯 특이도가 100%인 경우 항상 1이 나옵니다. 따라서 타액 PCR법과 래피젠법은 구해보지 않아도 알 수 있습니다. 

 

신속항원검사법의 경우를 계산해봅시다. 

 

$P(C|PT)=\frac{P(C)\times 0.9}{P(C) \times 0.9+P(C^{c})\times 0.04}$

 

이 경우는 P(C)를 알아야 합니다. 코로나에 걸릴 확률입니다. 보통의 질병의 경우 걸릴 확률은 유병률로 계산합니다. 예를들어 우리나라 사람의 폐암 유병률은 폐암 환자 수를 전체 인구로 나눠서 계산하면 됩니다. 코로나의 경우 환자가 계속 증가하고 있기 때문에 걸릴 확률을 가늠하기가 어렵습니다. 2021년8월25일5시12분 몇개 국가의 코로나 환자 비율을 가져왔습니다.

 

미국 : 11.6%

한국 : 0.47%

일본 : 1%

독일 : 4.6%

프랑스 : 10.1%

 

한국과 미국 사이의 범위로 확률을 계산하겠습니다. 검사 결과가 양성일 때 실제 코로나 환자일 확률을 '양성 예측도'라고 합니다. 

 

검사방법	비인두도말 PCR법	신속항원검사법	타액PCR법	에스디바이오센서	휴마시스	래피젠
양성 예측도	100%	9.6~74.6%	100%	100%	92.9%	100%

 

한국의 유병률을 적용할 경우 신속항원 검사법에서는 양성 예측도는 9.6%입니다. 미국의 유병률을 적용할 경우 신속항원검사법의 양성예측도는 74.6%입니다. 유병률이 높을 수록 양성예측도도 높습니다. 위 경우는 임의의 사람을 대상으로 코로나 검사를 했을 경우입니다. 실제 코로나 검사는 임의의 사람이 아니라 증상이 있는 사람을 대상으로 합니다. 증상이 있어 검사를 받은 사람을 대상으로 국내 유병률을 계산할 경우 1.8%로 늘어납니다. 

 

 

표 내용 출처

1. https://www.medric.or.kr/Controls/Sub.aspx?d=03&s=02&s2=01&g=TENDENCY&c&m=VIEW&i=3455 

2. http://medigatenews.com/news/3116058791