병 진단과 조건부확률 (양성이 나왔을 때 병에 걸려있을 확률)

 

 

어떤 암에 걸릴 확률이 1%라고 합시다. 어떤 사람이 증상이 의심되서 병원에 가서 암 검사를 받았습니다. 이 검사도구는 병에 걸린 사람을 병에 걸렸다고 판단할 확률이 90%이고, 병에 걸리지 않은 사람을 병에 걸리지 않았다고 판단할 확률이 80%입니다. 전문용어로 표현하면 아래와 같습니다.

민감도(sensitivity) : 90%
특이도(specificity) : 80%

검사 결과는 양성이었습니다. 이때 이 사람이 실제로 병에 걸렸을 확률은 얼마일까요? 

아래 조건부확률을 구하면 됩니다. PT는 양성인 사건이고 D는 병에걸린 사건입니다. 

$P(D|PT)=\frac{P(D\cap PT)}{P(PT)}$

분모는 양성이 나올 확률입니다. 양성이 나올 확률은 병에 걸렸는데 양성이 나올 확률과 병에 걸리지 않았는데 양성이 나올 확률의 합입니다. 

 

$P(PT)=P(PT \cap D)+P(PT \cap D^{c})$

 

아래와 같이 바꿔 쓸 수 있습니다. 

 

$P(PT)=P(D)P(PT|D)+P(D^{c})P(PT|D^{c})$

 

계산하던 식에 대입해줍니다. 

$P(D|PT)=\frac{P(D\cap PT)}{P(D)P(PT|D)+P(D^{c})P(PT|D^{c})}$

 

분자는 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$P(D|PT)=\frac{P(D)P(PT|D)}{P(D)P(PT|D)+P(D^{c})P(PT|D^{c})}$

아래와 같이 계산됩니다. 

$P(D|PT)=\frac{0.01 \times 0.9}{0.01 \times 0.9+0.99 \times 0.2}=0.043$

 

양성이 나왔는데 실제 병에 걸려있을 확률은 4.3% 입니다. 

---

양성이 나왔을 때 병에 걸려있을 확률을 양성예측도(Positive Predictive Value)라고 합니다. 양성예측도는 질병이 발생할 확률인 '유병률'의 영향을 많이 받습니다. 진단기계가 동일하더라도 유병률이 달라지면 양성예측도가 달라집니다.

 

위 예시에서 유병률이 1%였는데, 유병률은 3%로 늘려봅시다. 

 

$P(D|PT)=\frac{0.03 \times 0.9}{0.03 \times 0.9+0.97 \times 0.2}=0.122$

 

양성예측도가 12%로 올라갑니다. 따라서 양성예측도는 진단기계의 고유한 특성이 될 수 없습니다.

 

반면 민감도와 특이도는 유병률의 영향을 받지 않는 기계 고유의 특성입니다. 영어로는 intrinsic(고유한) 을 사용합니다.