0!은 어떻게 1로 정의된걸까

팩토리얼은 한자어로 계승(階乘)이라고 부릅니다. 차례(계)자에 곱할(승)자를 사용합니다. 차례대로 곱한다는 의미입니다. n!은 아래와 같이 정의됩니다. 

n!=1x2x3x ... xn

팩토리얼은 통계학에서 자주 등장합니다. 순열계산에 팩토리얼이 사용되기 때문입니다. n!을 경우의 수로 해석하면, n개의 서로 다른 무언가를 일렬로 나열하는 경우의 수 입니다. 

n의 범위는 자연수가 아니라, 음이 아닌 정수입니다. 0도 올 수 있다는 말입니다. 0!은 1로 정의됩니다. 도데체 왜 0!을 1로 정의한걸까요? 

 

1) 팩토리얼의 성질 이용

n!=n(n-1)! 입니다. 따라서

3!=3x2!
2!=2x1!
1!=1x0! 입니다. 

1x0!이 1이므로, 0!은 1이 됩니다. 

 

2) 감마함수 이용

(n-1)!을 0과 음의 정수를 제외한 복수수 범위로 확장한 것이 감마함수 입니다. 감마함수에 1을 넣은 값이 0!인데, 결과가 1이 나옵니다.