정규분포를 따르는 확률변수의 실수배 aX 의 분포

변수 X가 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$X \sim N \left( \mu,\sigma^{2}  \right)$

변수 X에 상수를 곱한 aX는 어떤 분포를 따르는지 알아봅시다. a는 양수라고 가정합시다. aX를 확률변수 Y라고 놓겠습니다. 

$Y=aX$

Y의 누적분포함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다. 

$G(y)=P\left[ Y \leq y  \right]$

aX=Y 를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

$G(y)=P\left[ aX \leq y  \right]$

 

a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다. 

 

a가 양수인 경우

부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 

$G(y)=P\left[ X \leq \frac{y}{a} \right]$

X의 누적분포함수를 F(x)라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

$G(y)=F\left( \frac{y}{a} \right)$

양변을 미분합시다. 

$g(y)=\frac{1}{a}f\left( \frac{y}{a} \right)$

f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$g(y)=\frac{1}{a}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{\frac{y}{a}-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$

아래와 같이 정리해줍시다. 

$g(y)=\frac{1}{a\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{y-a\mu}{a\sigma} \right )^{2}}$

우변은 평균이 $a\mu$이고, 표준편차가산이 $a\sigma$인 정규분포입니다. 

 

a가 음수인 경우 

부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다. 

$G(y)=P\left[ X \geq \frac{y}{a} \right]$

X의 누적분포함수를 F(x)라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

$G(y)=1-F\left( \frac{y}{a} \right)$

양변을 미분합시다. 

$g(y)=-\frac{1}{a}f\left( \frac{y}{a} \right)$

f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$g(y)=-\frac{1}{a}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{\frac{y}{a}-\mu}{\sigma} \right )^{2}}$

아래와 같이 정리해줍시다. 

$g(y)=\frac{1}{-a\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{y-a\mu}{a\sigma} \right )^{2}}$

우변은 평균이 $a\mu$이고, 표준편차가 $-a\sigma$인 정규분포입니다. 

---

요약

아래와 같이 a에 절댓값을 씌워주면 a가 음수인 경우와 양수인 경우의 분포를 하나로 표현할 수 있습니다. 

$g(y)=\frac{1}{\left| a \right|\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{y-a\mu}{a\sigma} \right )^{2}}$

아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 

 

확률변수 X가 아래 분포를 따른다고 하자, 

 

$X \sim \left ( \mu, \sigma^{2}\right ) $

 

이때 확률변수 aX의 분포는 아래와 같다.

 

$aX \sim \left ( a\mu,\left| a \right|^2 \sigma^{2}\right ) $