변수 X가 평균이 μ이고, 분산이 σ2인 정규분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.
X∼N(μ,σ2)
변수 X에 상수를 곱한 aX는 어떤 분포를 따르는지 알아봅시다. a는 양수라고 가정합시다. aX를 확률변수 Y라고 놓겠습니다.
Y=aX
Y의 누적분포함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다.
G(y)=P[Y≤y]
aX=Y 를 이용하여 아래와 같이 변형합시다.
G(y)=P[aX≤y]
a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다.
a가 양수인 경우
부등식의 양변을 a로 나눠줍니다.
G(y)=P[X≤ya]
X의 누적분포함수를 F(x)라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다.
G(y)=F(ya)
양변을 미분합시다.
g(y)=1af(ya)
f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
g(y)=1a1σ√2πe−12(ya−μσ)2
아래와 같이 정리해줍시다.
g(y)=1aσ√2πe−12(y−aμaσ)2
우변은 평균이 aμ이고, 표준편차가산이 aσ인 정규분포입니다.
a가 음수인 경우
부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다.
G(y)=P[X≥ya]
X의 누적분포함수를 F(x)라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다.
G(y)=1−F(ya)
양변을 미분합시다.
g(y)=−1af(ya)
f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
g(y)=−1a1σ√2πe−12(ya−μσ)2
아래와 같이 정리해줍시다.
g(y)=1−aσ√2πe−12(y−aμaσ)2
우변은 평균이 aμ이고, 표준편차가 −aσ인 정규분포입니다.
요약
아래와 같이 a에 절댓값을 씌워주면 a가 음수인 경우와 양수인 경우의 분포를 하나로 표현할 수 있습니다.
g(y)=1|a|σ√2πe−12(y−aμaσ)2
아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
확률변수 X가 아래 분포를 따른다고 하자,
X∼(μ,σ2)
이때 확률변수 aX의 분포는 아래와 같다.
aX∼(aμ,|a|2σ2)
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