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@ 통계 교양/통계 Tips

정규분포를 따르는 확률변수의 실수배 aX 의 분포

by bigpicture 2022. 7. 16.
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변수 X가 평균이 μ이고, 분산이 σ2인 정규분포를 따른다고 합시다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

XN(μ,σ2)

변수 X에 상수를 곱한 aX는 어떤 분포를 따르는지 알아봅시다. a는 양수라고 가정합시다. aX를 확률변수 Y라고 놓겠습니다. 

Y=aX

Y의 누적분포함수는 아래와 같이 정의할 수 있습니다. 

G(y)=P[Yy]

aX=Y 를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

G(y)=P[aXy]

 

a의 범위에 따라 둘로 나뉩니다. 

 

a가 양수인 경우

부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 

G(y)=P[Xya]

X의 누적분포함수를 F(x)라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

G(y)=F(ya)

양변을 미분합시다. 

g(y)=1af(ya)

f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

g(y)=1a1σ2πe12(yaμσ)2

아래와 같이 정리해줍시다. 

g(y)=1aσ2πe12(yaμaσ)2

우변은 평균이 aμ이고, 표준편차가산이 aσ인 정규분포입니다. 

 

a가 음수인 경우 

부등식의 양변을 a로 나눠줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다. 

G(y)=P[Xya]

X의 누적분포함수를 F(x)라고 놓는다면 아래 등식을 얻습니다. 

G(y)=1F(ya)

양변을 미분합시다. 

g(y)=1af(ya)

f(x)는 정규분포의 확률분포함수입니다. 따라서 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

g(y)=1a1σ2πe12(yaμσ)2

아래와 같이 정리해줍시다. 

g(y)=1aσ2πe12(yaμaσ)2

우변은 평균이 aμ이고, 표준편차가 aσ인 정규분포입니다. 


요약

아래와 같이 a에 절댓값을 씌워주면 a가 음수인 경우와 양수인 경우의 분포를 하나로 표현할 수 있습니다. 

g(y)=1|a|σ2πe12(yaμaσ)2

아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 

 

확률변수 X가 아래 분포를 따른다고 하자, 

 

X(μ,σ2)

 

이때 확률변수 aX의 분포는 아래와 같다.

 

aX(aμ,|a|2σ2)

 

 

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