분산 구하는 변형공식을 표본에도 적용할 수 있을까

분산을 구하는 변형공식을 유도하는 과정은 아래와 같습니다. 

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}}{n}$

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-2X_{i}\mu+\mu^{2}}{n}$

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
-2\mu\sum_{i=1}^{n}X_{i}+
\sum_{i=1}^{n}\mu^{2}
}{n}$

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
}{n}
+
\frac{
-2\mu\sum_{i=1}^{n}X_{i}
}{n}
+
\frac{
\sum_{i=1}^{n}\mu^{2}
}{n}$

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
}{n}
+
-2\mu^{2}
+
\mu^{2}$

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
}{n}
-\mu^{2}
$

 

만약 표본이라면 분모가 n-1일 것입니다. 

 

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
-2\mu\sum_{i=1}^{n}X_{i}+
\sum_{i=1}^{n}\mu^{2}
}{n-1}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
-2n\mu^{2}+
n\mu^{2}
}{n-1}$

 

분자를 계산합시다. 

 

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
-n\mu^{2}
}{n-1}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$V(X)=E\left ( (X-\mu)^{2} \right )=
\frac{
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}
}{n-1}
-
\frac{n}{n-1}  \mu^{2}$

 

분산을 구할 때 제곱의 평균 빼기 평균의 제곱이라는 식을 표본에 적용하면 안된다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 n이 충분히 크다면 결과가 별 차이 없을 테니 근사적으로 사용해도 문제는 없겠네요.