[손으로 푸는 베이즈통계] 7. 베이즈정리 심화형 유도 (1) 재료 : 전체확률의 법칙(law of total probability)

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7. 베이즈정리 심화형 유도 (1) 재료 : 전체확률의 법칙(law of total probability) 

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표본공간을 S라고 합시다. 표본공간은 사건이 일어날 수 있는 전체 집합입니다. 주사위를 던지는 사건을 예로 들면 표본공간 S는 {1,2,3,4,5,6}입니다. 

표본공간 S가 n개로 분할되어 있다고 해봅시다. 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. 

이렇게 n개로 분할되어 있는 표본공간 위에 어떤 사건 A가 있다고 해봅시다 .

사건 A의 개수는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. (A와 겹치는 부분을 다 더하면 A가 되겠죠?)

혹시 아래처럼 A가 어떤 분할영역과 겹치치 않더라도 위 식은 여전히 성립합니다. 

겹치지 않는 부분은 교집합의 원소 수가 0이 될 것이기 때문입니다. 따라서 어떤 A이던 관계 없이 아래 등식은 항상 성립합니다. 

이제 전사건(표본공간)의 원소 수로 나눠줍시다. 

확률로 바꾸면 아래와 같습니다. 

지난 강의에서 배운 확률의 곱셈정리를 이용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

위 식이 전체확률의 법칙입니다. 시그마 형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

<전체확률의 법칙>

표본공간 S가 n개로 분할되어 있고, 표본공간의 임의의 사건을 A라고 하면 아래 등식이 성립한다.