[조건부확률의 이해] 2. 조건부확률이 무엇인가?

조건부확률은 하나의 사건이 이미 발생한 상황에서, 다른 사건이 발생할 확률입니다. 문자를 이용해 표현하면 사건 Y가 발생한 상황에서, 사건 X가 발생할 확률입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

P(X|Y) : Y라는 사건이 발생했을 때, X라는 사건이 발생할 확률

 

예를들어 봅시다. 

 

 

 

1) 주사위 예시

 

사건 X : 주사위를 던져서 3의 눈이 나옴

사건 Y : 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나옴

 

P(X|Y)는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

P(X|Y) = 홀수의 눈이 나온 것 까진 아는 상황, 이때 3의 눈이 나올 확률.

 

홀수의 눈 1,3,5 중에서 3이 나올 확률이므로, 1/3입니다. 사건 X와 Y의 교집합의 원소수를 사건 Y의 원소수로 나눠준 값과 동일합니다. 

 

 

2) 성별과 직업 예시

 

방안에 남자 10명, 여자 10명이 있습니다. 남자 중 3명이 승무원이고, 여자 중 2명이 승무원입니다. 

 

사건 X : 남자임

사건 Y : 승무원임

 

P(X|Y)는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

P(X|Y) : 승무원인건 아는 상태, 이때 남자일 확률

 

승무원 5명 중에서 남자는 3명 이므로, 확률은 3/5 입니다. 사건 X와 Y의 교집합의 원소수를 사건 Y의 원소수로 나눠준 값과 동일합니다. 

 

 

 

일반화시켜봅시다. 

 

P(X|Y) 는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

 

 

사건 X와 Y의 교집합의 원소수를 사건 Y의 원소수로 나눠준 값입니다. 전체 사건을 U라고 놓으면, 전체 사건의 경우의 수는 n(U)입니다. 분모와 분자를 n(U)로 나눠봅시다. 

 

 

분모와 분자는 확률이됩니다. 

 

 

 

 

정리해봅시다. 

 

<조건부확률의 정의>

 

P(X|Y) : Y라는 사건이 발생했을 때, X라는 사건이 발생할 확률

 

 

<계산 방법>