테일러급수 유도하기

통계공부를 하다가 등장한 수학내용들을 따로 정리하는 강의입니다. 오늘은 테일러급수를 유도해봅시다. 

테일러급수는 어떤 함수를 다항함수들의 합으로 바꿔추는 놀라운 방법입니다. 단 어떤 함수는 매끄러운함수(smooth function)이어야 합니다. 매끄러운함수는 미분이 무한번 가능한 함수를 말합니다. 

테일러급수의 수식은 아래와 같습니다. a는 임의의 실수입니다. 

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n$

테일러급수는 통계뿐 아니라 과학과 공학의 다양한 분야에서 사용되는 굉장히 유용한 도구입니다. 그 이유는 테일러 급수를 이용하면 복잡한 함수를 다루기 쉬운 다항함수(polynomial)로 바꿀 수 있기 때문입니다. 

이제 테일러급수를 유도해봅시다. 테일러급수는 미적분의 기본정리에서 출발합니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=f(x)-f(a)$

위 식을 f(x)에 대해 표현하면 아래와 같습니다. 아래 식이 미적분의 기본정리입니다. 

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)dt$

우리는 위 식의 맨 오른쪽 항을 변형해줄 것입니다. 부분적분법을 이용해서 변형해주겠습니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=\left [ (t+c)f'(t) \right ]^{x}_{a}-\int_{a}^{x}(t+c)f''(t)dt$

c는 적분상수이기 때문에 우리가 원하는 값을 넣을 수 있습니다. c 대신 -x를 넣겠습니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=\left [ (t-x)f'(t) \right ]^{x}_{a}-\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)dt$

이번에는 위 식 맨 오른쪽 변의 첫항을 계산하겠습니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=(x-a)f'(a)-\int_{a}^{x}(t-x)f''(t)dt$

이번에는 위 식의 마지막 항을 부분적분법을 이용해서 변형해주면 아래와 같습니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=(x-a)f'(a)-\left [ \frac{(t-x)^2}{2}f''(t) \right ]^{x}_{a}-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^2}{2}f'''(t)dt$

위 식 맨 오른쪽 변의 두번째 항을 계산해줍시다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2}f''(a)
-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^2}{2}f'''(t)dt$

위 식의 마지막 항을 부분적분법을 이용해서 변형해주면 아래와 같습니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2}f''(a)
-\left [ \frac{(t-x)^3}{2 \cdot 3}f'''(t) \right ]^{x}_{a}
-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^3}{2 \cdot 3}f''''(t)dt$

위 식 맨 오른쪽 변의 세번째 항을 계산해줍시다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=\int_{a}^{x}1\times f'(t)dt=(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2}f''(a)
+\frac{(x-a)^3}{2 \cdot 3}f'''(a)
-\int_{a}^{x}\frac{(t-x)^3}{2 \cdot 3}f''''(t)dt$

이와 같은 원리로 아래 등식이 성립합니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=
(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2}f''(a)
+\frac{(x-a)^3}{2 \cdot 3}f'''(a)
+\frac{(x-a)^4}{2 \cdot 3 \cdot 4}f''''(a)
+\cdots
+\frac{(x-a)^k}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots k}f^{(k)}(a)
$

우변의 분모를 팩토리얼 형태로 바꿔줍니다. 

$\int_{a}^{x}f'(t)dt=
(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)
+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)
+\frac{(x-a)^4}{4!}f''''(a)
+\cdots
+\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)
$

이제 미적분의 기본정리식에 우리가 구한 결과를 대입해줍시다. 

$f(x)=
f(a)+
(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)
+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)
+\frac{(x-a)^4}{4!}f''''(a)
+\cdots
+\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)
$

시그마를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. 아래 식이 바로 테일러 급수입니다. 

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

a에는 주로 관심영역의 값을 대입합니다. 테일러급수를 사용할 때, 보통 H.O.T(high order term)을 날리고 근사를 시킵니다. 아래와 같습니다. 

$f(x)=
f(a)+
(x-a)f'(a)
+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)$

근사시킨 함수는 a에 가까울 수록 더 정확한 값을 갖습니다. a에서 멀어질 수록 실제 값과 많이 달라집니다. 따라서 우리의 관심영역을 a로 놓아야 하는 것입니다. 

a에 0을 넣은 경우를 '매클로린급수'라고 부릅니다. 

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$