[손으로 푸는 통계] 16. 정규분포 함수 유도 (방법1. 과녁맞추기를 이용한 유도 2/2)

정규분포 함수 유도 (방법1. 과녁맞추기를 이용한 유도 2/2)

정규분포 함수 유도 두번째 시간입니다. 지난 시간에 정규분포 함수의 형태를 찾았고 아래와 같습니다. 

$f(x)=Ae^{\frac{C}{2}x^2}$

 

A의 부호 판별

오늘은 계수를 구해보겠습니다. 먼저 A의 부호를 판별해봅시다. $f(x)$는 확률밀도함수이기 때문에 음수값을 가질 수 없습니다. 따라서 항상 양수여야 합니다. $e^{\frac{C}{2}x^2}$ 는 항상 양수이므로, A도 항상 양수입니다. 

$A>0$

 

C의 부호 판별

$f(x)=Ae^{\frac{C}{2}x^2}$에서 만약 C가 양수라면 x가 커질 수록 $f(x)$는 한없이 커집니다. x가 커질 수록 전체 값은 작아지는 것이 초기에 설정한 조건이었습니다. x가 커질 수록 전체 값이 작아지려면 C는 음수여야 합니다. 

 

$C<0$

유도를 편하게 하기 위해 -c를 k 로 치환하여 양수 k를 사용하겠습니다. 치환한 함수는 아래와 같습니다. 

$f(x)=Ae^{-\frac{k}{2}x^2}$

이제 본격적으로 A와 k를 구해봅시다. 

 

A 구하기

$f(x)$는 확률밀도함수이므로, 전체 x값에 대해 적분하면 1이 됩니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$

지난시간에 f(x)를 구할 때 아래 두가지 가정을 했습니다. 

1) 과녁의 중심에서 멀어질 수록 맞출 확률이 낮다. 
2) 과녁의 중심에서 거리가 같은 두 점이 있다면, 이 두 점의 확률은 동일하다. 

두번째 가정에 의해 중심에서 거리가 같으면 확률이 동일합니다. 따라서 $f(x)$ 는 대칭함수입니다. 대칭함수에서는 적분구간을 0부터 무한대로 바꾸고 적분값을 1/2 로 놓을 수 있습니다. 

$\int_{0}^{\infty}f(x)dx=\frac{1}{2}$

$f(x)$ 자리에 우리가 유도한 수식을 대입합시다. 

$\int_{0}^{\infty}Ae^{-\frac{k}{2}x^2}dx=\frac{1}{2}$

양변을 A로 나눠줍니다. 아래 식을 1번식이라고 놓겠습니다. 

$\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}x^2}dx=\frac{1}{2A}$      (1번식)

위 식의 좌변은 쉽게 적분 되지 않습니다. 적분 테크닉을 하나 사용하겠습니다. 가우스적분이라고 불리는 방법입니다. x대신 다른 문자 y를 대입하겠습니다. y도 실수 전체 구간을 갖는다고 가정하면 아래 등식이 성립합니다.  

$\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}y^2}dy=\frac{1}{2A} $

두 식을 곱해줍니다. 

$\left( \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}x^2}dx \right)\left( \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}y^2}dy \right)=\frac{1}{2A}\times \frac{1}{2A}=\frac{1}{4A^2}$

x와 y가 서로 독립이므로 좌변을 하나의 적분식으로 합쳐줄 수 있습니다. 

$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}\left( x^2+y^2 \right)}dxdy=\frac{1}{4A^2}$

극좌표계로 바꿔줍니다. 

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}r^2}rdrd\theta=\frac{1}{4A^2}$

r에 대한 적분을 먼저 계산하면 아래와 같습니다. 

$\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{k}{2}r^2}rdr=\left[ -\frac{1}{k}e^{-\frac{k}{2}r^2} \right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{k}$

적분하던 원래 식에 대입합니다. 

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{k}d\theta=\frac{1}{4A^2}$

k는 적분변수와 무관하므로 밖으로 꺼내줍니다. 

$\frac{1}{k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1d\theta=\frac{1}{4A^2}$

적분합니다. 

$\frac{1}{k}\frac{\pi}{2}=\frac{1}{4A^2}$

$A^2$에 대해 정리합시다. 

$A^2=\frac{k}{2\pi}$

A를 구하면 아래와 같습니다. 

$A=\pm\sqrt{\frac{k}{2\pi}}$

A는 양수이므로 플러스만 해당됩니다. 

$A=\sqrt{\frac{k}{2\pi}}$    (2번식)

지금까지 구한 $f(x)$는 아래와 같습니다. 

$f(x)=\sqrt{\frac{k}{2\pi}}e^{-\frac{k}{2}x^2}$   (3번식)

 

k 구하기

확률변수 x의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. 

$V[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx$

확률변수 X의 확률분포 $f(x)$ 는 x축에 대해 대칭이므로 평균은 0입니다.

$V[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

X의 표준편차를 $\sigma^2$으로 놓으면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$\sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

f(x)는 x축에 대해 대칭이므로 적분구간을 0부터로 놓고 아래와 같이 변형합니다. 

$\sigma^2=2\int_{0}^{\infty}x^2f(x)dx$

양변을 2로 나눕니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\int_{0}^{\infty}x^2f(x)dx$

3번 식의 $f(x)$를 대입합니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\int_{0}^{\infty}x^2 \sqrt{\frac{k}{2\pi}}e^{-\frac{k}{2}x^2}dx$

적분변수와 무관한 항을 앞으로 꺼내줍니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\sqrt{\frac{k}{2\pi}}\int_{0}^{\infty}x^2 e^{-\frac{k}{2}x^2}dx$

부분적분법을 이용하여 적분합니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\sqrt{\frac{k}{2\pi}}\left\{\left[-x\frac{1}{k}e^{-\frac{k}{2}x^2}  \right]_{0}^{\infty}- \int_{0}^{\infty}-\frac{1}{k} e^{-\frac{k}{2}x^2}dx \right\}$

우변 괄호 안의 첫 항은 0입니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\sqrt{\frac{k}{2\pi}}\left\{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{k} e^{-\frac{k}{2}x^2}dx \right\}$

적분 안의 $\frac{1}{k}$를 밖으로 꺼내줍니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{k}{2\pi}}\left\{\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{k}{2}x^2}dx \right\}$

우변의 적분항은 A를 계산할 때 한번 다뤘던 식입니다. 1번식을 이용하면 아래와 같이 변형됩니다.  

$\frac{\sigma^2}{2}=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{k}{2\pi}}\frac{1}{2A}$

2번식을 이용하여 한번 더 변형합시다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\frac{1}{k}A\frac{1}{2A}$

A가 약분됩니다. 

$\frac{\sigma^2}{2}=\frac{1}{k}\frac{1}{2}$

k에 대해 정리합시다. 

$k=\frac{1}{\sigma^2}$   (4번식)

 

$f(x)$ 구하기

3번식의 f(x) 를 가져옵시다. 

$f(x)=\sqrt{\frac{k}{2\pi}}e^{-\frac{k}{2}x^2}$

k 대신 우리가 구한 4번 식을 넣어줍니다. 

$f(x)=\sqrt{\frac{1}{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}x^2}$

아래와 같이 변형합니다. 

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}x^2}$

확률변수 X의 평균이 0이고 분산이 $\sigma^2$인 경우에 유도된 확률밀도함수입니다. 평균이 $\mu$ 라면 아래와 같이 변형됩니다. 

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\left( x-\mu \right)^2}{2\sigma^2}}$

위 식이 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포입니다. 

 

 

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