정규분포 함수 유도 (방법1. 과녁맞추기를 이용한 유도 2/2)
정규분포 함수 유도 두번째 시간입니다. 지난 시간에 정규분포 함수의 형태를 찾았고 아래와 같습니다.
f(x)=AeC2x2f(x)=AeC2x2
A의 부호 판별
오늘은 계수를 구해보겠습니다. 먼저 A의 부호를 판별해봅시다. f(x)f(x)는 확률밀도함수이기 때문에 음수값을 가질 수 없습니다. 따라서 항상 양수여야 합니다. eC2x2eC2x2 는 항상 양수이므로, A도 항상 양수입니다.
A>0A>0
C의 부호 판별
f(x)=AeC2x2f(x)=AeC2x2에서 만약 C가 양수라면 x가 커질 수록 f(x)f(x)는 한없이 커집니다. x가 커질 수록 전체 값은 작아지는 것이 초기에 설정한 조건이었습니다. x가 커질 수록 전체 값이 작아지려면 C는 음수여야 합니다.
C<0C<0
유도를 편하게 하기 위해 -c를 k 로 치환하여 양수 k를 사용하겠습니다. 치환한 함수는 아래와 같습니다.
f(x)=Ae−k2x2f(x)=Ae−k2x2
이제 본격적으로 A와 k를 구해봅시다.
A 구하기
f(x)f(x)는 확률밀도함수이므로, 전체 x값에 대해 적분하면 1이 됩니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다.
∫∞−∞f(x)dx=1∫∞−∞f(x)dx=1
지난시간에 f(x)를 구할 때 아래 두가지 가정을 했습니다.
1) 과녁의 중심에서 멀어질 수록 맞출 확률이 낮다.
2) 과녁의 중심에서 거리가 같은 두 점이 있다면, 이 두 점의 확률은 동일하다.
두번째 가정에 의해 중심에서 거리가 같으면 확률이 동일합니다. 따라서 f(x)f(x) 는 대칭함수입니다. 대칭함수에서는 적분구간을 0부터 무한대로 바꾸고 적분값을 1/2 로 놓을 수 있습니다.
∫∞0f(x)dx=12∫∞0f(x)dx=12
f(x)f(x) 자리에 우리가 유도한 수식을 대입합시다.
∫∞0Ae−k2x2dx=12∫∞0Ae−k2x2dx=12
양변을 A로 나눠줍니다. 아래 식을 1번식이라고 놓겠습니다.
∫∞0e−k2x2dx=12A∫∞0e−k2x2dx=12A (1번식)
위 식의 좌변은 쉽게 적분 되지 않습니다. 적분 테크닉을 하나 사용하겠습니다. 가우스적분이라고 불리는 방법입니다. x대신 다른 문자 y를 대입하겠습니다. y도 실수 전체 구간을 갖는다고 가정하면 아래 등식이 성립합니다.
∫∞0e−k2y2dy=12A∫∞0e−k2y2dy=12A
두 식을 곱해줍니다.
(∫∞0e−k2x2dx)(∫∞0e−k2y2dy)=12A×12A=14A2(∫∞0e−k2x2dx)(∫∞0e−k2y2dy)=12A×12A=14A2
x와 y가 서로 독립이므로 좌변을 하나의 적분식으로 합쳐줄 수 있습니다.
∫∞0∫∞0e−k2(x2+y2)dxdy=14A2∫∞0∫∞0e−k2(x2+y2)dxdy=14A2
극좌표계로 바꿔줍니다.
∫π20∫∞0e−k2r2rdrdθ=14A2∫π20∫∞0e−k2r2rdrdθ=14A2
r에 대한 적분을 먼저 계산하면 아래와 같습니다.
∫∞0e−k2r2rdr=[−1ke−k2r2]∞0=1k∫∞0e−k2r2rdr=[−1ke−k2r2]∞0=1k
적분하던 원래 식에 대입합니다.
∫π201kdθ=14A2∫π201kdθ=14A2
k는 적분변수와 무관하므로 밖으로 꺼내줍니다.
1k∫π201dθ=14A21k∫π201dθ=14A2
적분합니다.
1kπ2=14A21kπ2=14A2
A2A2에 대해 정리합시다.
A2=k2πA2=k2π
A를 구하면 아래와 같습니다.
A=±√k2πA=±√k2π
A는 양수이므로 플러스만 해당됩니다.
A=√k2πA=√k2π (2번식)
지금까지 구한 f(x)f(x)는 아래와 같습니다.
f(x)=√k2πe−k2x2 (3번식)
k 구하기
확률변수 x의 분산은 아래와 같이 계산됩니다.
V[X]=∫∞−∞(x−μ)2f(x)dx
확률변수 X의 확률분포 f(x) 는 x축에 대해 대칭이므로 평균은 0입니다.
V[X]=∫∞−∞x2f(x)dx
X의 표준편차를 σ2으로 놓으면 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
σ2=∫∞−∞x2f(x)dx
f(x)는 x축에 대해 대칭이므로 적분구간을 0부터로 놓고 아래와 같이 변형합니다.
σ2=2∫∞0x2f(x)dx
양변을 2로 나눕니다.
σ22=∫∞0x2f(x)dx
3번 식의 f(x)를 대입합니다.
σ22=∫∞0x2√k2πe−k2x2dx
적분변수와 무관한 항을 앞으로 꺼내줍니다.
σ22=√k2π∫∞0x2e−k2x2dx
부분적분법을 이용하여 적분합니다.
σ22=√k2π{[−x1ke−k2x2]∞0−∫∞0−1ke−k2x2dx}
우변 괄호 안의 첫 항은 0입니다.
σ22=√k2π{∫∞01ke−k2x2dx}
적분 안의 1k를 밖으로 꺼내줍니다.
σ22=1k√k2π{∫∞0e−k2x2dx}
우변의 적분항은 A를 계산할 때 한번 다뤘던 식입니다. 1번식을 이용하면 아래와 같이 변형됩니다.
σ22=1k√k2π12A
2번식을 이용하여 한번 더 변형합시다.
σ22=1kA12A
A가 약분됩니다.
σ22=1k12
k에 대해 정리합시다.
k=1σ2 (4번식)
f(x) 구하기
3번식의 f(x) 를 가져옵시다.
f(x)=√k2πe−k2x2
k 대신 우리가 구한 4번 식을 넣어줍니다.
f(x)=√12πσ2e−12σ2x2
아래와 같이 변형합니다.
f(x)=1√2πσe−12σ2x2
확률변수 X의 평균이 0이고 분산이 σ2인 경우에 유도된 확률밀도함수입니다. 평균이 μ 라면 아래와 같이 변형됩니다.
f(x)=1√2πσe−(x−μ)22σ2
위 식이 평균이 μ이고 표준편차가 σ인 정규분포입니다.
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