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[손으로 푸는 통계] 16. 정규분포 함수 유도 (방법1. 과녁맞추기를 이용한 유도 2/2)

by bigpicture 2018. 3. 25.
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정규분포 함수 유도 (방법1. 과녁맞추기를 이용한 유도 2/2)

정규분포 함수 유도 두번째 시간입니다. 지난 시간에 정규분포 함수의 형태를 찾았고 아래와 같습니다. 

f(x)=AeC2x2f(x)=AeC2x2

 

A의 부호 판별

오늘은 계수를 구해보겠습니다. 먼저 A의 부호를 판별해봅시다. f(x)f(x)는 확률밀도함수이기 때문에 음수값을 가질 수 없습니다. 따라서 항상 양수여야 합니다. eC2x2eC2x2 는 항상 양수이므로, A도 항상 양수입니다. 

A>0A>0

 

C의 부호 판별

f(x)=AeC2x2f(x)=AeC2x2에서 만약 C가 양수라면 x가 커질 수록 f(x)f(x)는 한없이 커집니다. x가 커질 수록 전체 값은 작아지는 것이 초기에 설정한 조건이었습니다. x가 커질 수록 전체 값이 작아지려면 C는 음수여야 합니다. 

 

C<0C<0

유도를 편하게 하기 위해 -c를 k 로 치환하여 양수 k를 사용하겠습니다. 치환한 함수는 아래와 같습니다. 

f(x)=Aek2x2f(x)=Aek2x2

이제 본격적으로 A와 k를 구해봅시다. 

 

A 구하기

f(x)f(x)는 확률밀도함수이므로, 전체 x값에 대해 적분하면 1이 됩니다. 수식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

f(x)dx=1f(x)dx=1

지난시간에 f(x)를 구할 때 아래 두가지 가정을 했습니다. 

1) 과녁의 중심에서 멀어질 수록 맞출 확률이 낮다. 
2) 과녁의 중심에서 거리가 같은 두 점이 있다면, 이 두 점의 확률은 동일하다. 

두번째 가정에 의해 중심에서 거리가 같으면 확률이 동일합니다. 따라서 f(x)f(x) 는 대칭함수입니다. 대칭함수에서는 적분구간을 0부터 무한대로 바꾸고 적분값을 1/2 로 놓을 수 있습니다. 

0f(x)dx=120f(x)dx=12

f(x)f(x) 자리에 우리가 유도한 수식을 대입합시다. 

0Aek2x2dx=120Aek2x2dx=12

양변을 A로 나눠줍니다. 아래 식을 1번식이라고 놓겠습니다. 

0ek2x2dx=12A0ek2x2dx=12A      (1번식)

위 식의 좌변은 쉽게 적분 되지 않습니다. 적분 테크닉을 하나 사용하겠습니다. 가우스적분이라고 불리는 방법입니다. x대신 다른 문자 y를 대입하겠습니다. y도 실수 전체 구간을 갖는다고 가정하면 아래 등식이 성립합니다.  

0ek2y2dy=12A0ek2y2dy=12A

두 식을 곱해줍니다. 

(0ek2x2dx)(0ek2y2dy)=12A×12A=14A2(0ek2x2dx)(0ek2y2dy)=12A×12A=14A2

x와 y가 서로 독립이므로 좌변을 하나의 적분식으로 합쳐줄 수 있습니다. 

00ek2(x2+y2)dxdy=14A200ek2(x2+y2)dxdy=14A2

극좌표계로 바꿔줍니다. 

π200ek2r2rdrdθ=14A2π200ek2r2rdrdθ=14A2

r에 대한 적분을 먼저 계산하면 아래와 같습니다. 

0ek2r2rdr=[1kek2r2]0=1k0ek2r2rdr=[1kek2r2]0=1k

적분하던 원래 식에 대입합니다. 

π201kdθ=14A2π201kdθ=14A2

k는 적분변수와 무관하므로 밖으로 꺼내줍니다. 

1kπ201dθ=14A21kπ201dθ=14A2

적분합니다. 

1kπ2=14A21kπ2=14A2

A2A2에 대해 정리합시다. 

A2=k2πA2=k2π

A를 구하면 아래와 같습니다. 

A=±k2πA=±k2π

A는 양수이므로 플러스만 해당됩니다. 

A=k2πA=k2π    (2번식)

지금까지 구한 f(x)f(x)는 아래와 같습니다. 

f(x)=k2πek2x2   (3번식)

 

k 구하기

확률변수 x의 분산은 아래와 같이 계산됩니다. 

V[X]=(xμ)2f(x)dx

확률변수 X의 확률분포 f(x) 는 x축에 대해 대칭이므로 평균은 0입니다.

V[X]=x2f(x)dx

X의 표준편차를 σ2으로 놓으면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

σ2=x2f(x)dx

f(x)는 x축에 대해 대칭이므로 적분구간을 0부터로 놓고 아래와 같이 변형합니다. 

σ2=20x2f(x)dx

양변을 2로 나눕니다. 

σ22=0x2f(x)dx

3번 식의 f(x)를 대입합니다. 

σ22=0x2k2πek2x2dx

적분변수와 무관한 항을 앞으로 꺼내줍니다. 

σ22=k2π0x2ek2x2dx

부분적분법을 이용하여 적분합니다. 

σ22=k2π{[x1kek2x2]001kek2x2dx}

우변 괄호 안의 첫 항은 0입니다. 

σ22=k2π{01kek2x2dx}

적분 안의 1k를 밖으로 꺼내줍니다. 

σ22=1kk2π{0ek2x2dx}

우변의 적분항은 A를 계산할 때 한번 다뤘던 식입니다. 1번식을 이용하면 아래와 같이 변형됩니다.  

σ22=1kk2π12A

2번식을 이용하여 한번 더 변형합시다. 

σ22=1kA12A

A가 약분됩니다. 

σ22=1k12

k에 대해 정리합시다. 

k=1σ2   (4번식)

 

f(x) 구하기

3번식의 f(x) 를 가져옵시다. 

f(x)=k2πek2x2

k 대신 우리가 구한 4번 식을 넣어줍니다. 

f(x)=12πσ2e12σ2x2

아래와 같이 변형합니다. 

f(x)=12πσe12σ2x2

확률변수 X의 평균이 0이고 분산이 σ2인 경우에 유도된 확률밀도함수입니다. 평균이 μ 라면 아래와 같이 변형됩니다. 

f(x)=12πσe(xμ)22σ2

위 식이 평균이 μ이고 표준편차가 σ인 정규분포입니다. 

 

 

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