[통계 기호의 이해] 3. E[X] 는 함수가 아닙니다

기댓값 기호 $E[X]$를 함수로 오해하시는 경우가 있습니다. 먼저 아래 질문에 답해보면서 오해하고 있는건 아닌지 확인해봅시다. 

Q) 확률변수 X의 확률 밀도함수를 $f(x)$ 라고 한다면, 확률변수 X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 

$E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

이때, 확률변수 3X의 기댓값을 아래와 같이 계산하는게 맞나요? 

$E[3X]=\int_{-\infty}^{\infty}3xf(3x)dx$

정답은 '틀렸다' 입니다. 위와 같은 계산이 왜 틀렸는지 지금부터 알아봅시다. 

$E[X]$ 는 함수가 아니라 'X의 기댓값'을 기호로 나타낸 것입니다. X의 기댓값이라는 말을 매번 쓰기 귀찮으니 $E[X]$ 로 표현하기로 한 것입니다. 

X의 기댓값이 구해지는 과정을 한번 살펴봅시다. 먼저 이산확률변수에서 살펴보겠습니다. 확률변수 X의 확률질량함수를 $p(x)$ 라고 한다면 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 

$E[X]=x_{1}p(x_{1})+x_{2}p(x_{2})+\cdots+x_{n}p(x_{n})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})$

연속확률변수의 경우는 아래와 같이 계산됩니다. $f(x)$는 확률변수 X의 확률밀도함수입니다. 

$E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$

이번에는 $E[3X]$를 계산해볼 것인데요. $E[3X]$의 의미는 $E[X]$라는 함수의 X자리에 3X를 넣은 것이 아니라, 3X의 기댓값입니다. 

 3X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 

$E[3X]=\sum_{i=1}^{n}3x_{i}p(x_{i})$

$E[3X]=\int_{-\infty}^{\infty}3xf(x)dx$

왜 $p(x)$나 $f(x)$ 는 그대로 인가? 라는 의문이 들 것 같은데요. 다음 시간에 해결해봅시다. 

 

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