[통계 기호의 이해] 4. X 와 aX+b 의 발생 확률이 같은 이유

X의 확률밀도함수가 p(x) 인 경우에 X의 기댓값과 3X의 기댓값을 지난 시간에 구했었습니다. 결과는 아래와 같습니다. 

$E[X]=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p(x_{i})$

$E[3X]=\sum_{i=1}^{n}3x_{i}p(x_{i})$

여기서 이런 의문이 드는 분들이 계실겁니다. X가 3X로 바뀌었는데, 왜 p(x) 는 그대로인가. 오늘 그 의문을 해결해봅시다. 

확률변수 X의 원소를 아래와 같이 놓겠습니다. 

$X=\left \{x_{1},x_{2},...,x_{n}  \right \}$

$x_{1}$ 이 발생할 확률은 $p(x_{1})$ 입니다. $x_{2}$가 발생할 확률은 $p(x_{2})$ 입니다. 나머지 원소들에도 동일하게 성립합니다. 기댓값은 모든 사건과 각 사건이 발생할 확률의 합입니다. X의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 

$E[X]=x_{1}p(x_{1})+x_{2}p(x_{2})+\cdots+x_{n}p(x_{n})$

이번에는 aX+b 의 기댓값을 생각해봅시다. $ax_{1}+b$ 가 발생할 확률은 얼마일까요. $x_{1}$이 발생해야 $ax_{1}+b$가 생성됩니다. $x_{1}$이 발생한 것이므로 확률은 $p(x_{1})$ 입니다. 같은 이유로 $ax_{2}+b$ 가 발생할 확률은 $p(x_{2})$ 입니다. 따라서 $aX+b$ 의 기댓값은 아래와 같이 계산됩니다. 

$E[aX+b]=(ax_{1}+b)p(x_{1})+(ax_{2}+b)p(x_{2})+\cdots+(ax_{n}+b)p(x_{n})$

$E[aX+b]=\sum_{i=1}^{n}(ax_{i}+b)p(x_{i})$